Тропическа интерполация; EWST Превод

Франк Соттил
9 октомври 2004 г., Station College, Тексас.

Всеки знае, че две точки определят права и много хора, изучавали геометрия, знаят, че пет точки в равнината определят коника. Като цяло, ако имате m произволни точки в равнината и искате да преминете през рационална крива на степен d през всичко това, може да няма решение на този проблем с интерполация (ако m е твърде голям) или безкраен брой решения ( ако m е твърде малко) или краен брой решения (ако m е справедливо). Изглежда, че "m точно надясно" означава m = 3 d -1 (m = 2 за линии и m = 5 за конус).

По-труден въпрос е, ако m = 3 d -1, колко рационални криви на степен d интерполират точките? Нека наречем това число N d, така че N 1 = 1 и N 2 = 1, тъй като линията и кониката от предишния параграф са уникални. Отдавна е известно, че N 3 = 12 и през 1873 г. Zeuthen [Ze] показва, че N 4 = 620. Тук проблемите стоят до преди около десет години, когато Концевич и Манин [KM] използва асоциативност в квантовата кохомология, за да осигури елегантен рецидив за това число.

Изследователските теми през зимния семестър на MSRI през зимата на 2004 г. относно топологичните аспекти на реалната алгебрична геометрия включват реална алубрична геометрична геометрия, тропическа геометрия, реални равнинни криви и приложения на реалната алгебрична геометрия. Всички те са вплетени заедно в разгръщащата се история на този проблем с интерполацията, прототип на задачата за изброяване на геометрията, която е изкуството да брои геометрични фигури, определени от дадени условия на падане. Ето още един проблем: колко линии в пространството отговарят на четири дадени линии? За да отговорите на това, обърнете внимание, че три реда лежат върху един двуглав хиперболоид.

Трите реда са в едно решение, а второто решение се състои от редовете, които зачитат трите дадени реда. Тъй като хиперболоидът се определя от квадратно уравнение, четвърти ред ще се срещне в две точки. През всяка от тези две точки има линия във второто съждение и това са двата реда, съответстващи на четирите дадени реда.

Геометричното изброяване работи най-добре при комплексни числа, тъй като броят на реалните цифри съвсем тънко зависи от конфигурацията на цифрите, които дават условията за честота. Например, четвъртият ред може да се срещне с хиперболоида в две реални точки или в две сложни точки на конюгация, така че има две реални линии или няма срещи, които съответстват и на четирите. Въз основа на многото примери, ние очакваме, че всеки изброителен проблем ще има всичките си реални решения [И така].

Друг проблем е този на 12-те рационални криви, които интерполират 8 точки в равнината. Повечето математици са запознати с възловия (рационален) куб, показан вляво отдолу. Има и друг тип реални рационални кубици, показани вдясно.

Във втората крива два сложни сегмента от конюгати се срещат в изолираната точка. Ако оставим N (t) броя на реалните криви от тип t, интерполиращи 8 точки, тогава Харламов и Дегтярев [DK] показаха, че N (

) = 8. Ето описание на техните елементарни топологични методи.

Тъй като има най-много 12 такива криви, N () + N () \ leq 12, така че има 8, 10 или 12 реални рационални кубики, интерполиращи 8 реални точки в равнината, в зависимост от броя (0, 1 или 2) на кубчета с изолирана точка. По този начин ще има 12 реални рационални куба, които ще интерполират всички 8 от 9-те точки на пресичане между двата куба отдолу.

Welschinger [W], който беше постдок на MSRI миналата зима, разработи този пример в теория. Като цяло, особеностите на рационалната крива на C-равнината са изолирани възли или точки. Паритетът на броя на възлите е неговият знак s (C), който е или 1, или -1. Като се имат предвид 3 d-1 реални точки в плана, Welschinger взе предвид абсолютната стойност на количеството

сумата по всички реални рационални криви C от степен d, които интерполират точките. Той посочи, че тази претеглена сума не зависи от избора на точки. Напишете W d за този инвариант на Welschinger. Например видяхме само, че W 3 = 8.

Това беше напредък, защото W d беше (почти) първият наистина нетривиален инвариант в реалната алгебрична изброителна геометрия. Обърнете внимание, че W d е долна граница за броя на реалните рационални криви от 3 d -1 реални точки в равнината и W d \ leq N d .

Михалкин, който беше организатор на семестъра, при условие, че ключът за изчисление W d използваше тропическа алгебрична геометрия [Mi]. Това е геометрията на тропическия полуремарке, където максималните и + операции с реални числа заменят обичайните операции на + и умножение. Тропичният полином е линейна линейна функция с формата T (x, y) = max (i, j) < x i + y j + c i, j >,ако изчислението е с обичайните аритметични операции и максимумът се приема за крайно подмножество от Z. 2 от показателите T и c i, j са реални числа коефициентите T. Тропически полином T определя тропическа крива, която е набор от точки (x, y), където T (x, y) не се диференцира. Ето няколко тропически извивки.

Степента на тропическа крива е броят на лъчите, които са склонни към безкрайност във всяка от трите посоки на Запад, Юг или Североизток. Тропическата крива е рационална, ако е линейно гмуркане на парчета от дърво. Възлите имат валентност 4.

Михалкин показа, че има само многобройни тропически рационални криви на степен d, интерполиращи 3 d-1 родови точки. Докато броят на тези криви зависи от избора на точки, Михалкин приложи положителните множества към всяка тропическа крива, така че претеглената сума да не е и да е равна на N d. Той също така намали тези множества и изброяването на тропическите криви до комбинаториката на решетъчните пътеки в триъгълник с странична дължина .

Михалкин използва кореспонденция, включваща дневника на картата: ( ° С *) 2 -> R 2, дефинирано от (x, y) | -> (log | x |, log | y |) и определена ”от сложната структура на ( ° С *) 2. Под тази голяма комплексна граница, рационални криви степен d, интерполиращи 3 d -1 точки в ( ° С *) 2 се деформира при „сложни тропически криви“, чиито изображения под Log са обичайните тропически криви, интерполиращи изображенията на точките. Множеството на тропическа крива T е броят на сложните тропически криви, които проектират T .

Ами реалните криви? Следвайки тази кореспонденция, Михалкин приложи реална множественост към всяка тропическа крива и показа, че ако тропическите криви, интерполиращи определен брой точки 3 d -1, имат общата реална кратност N, тогава има 3 d -1 реални точки, които се интерполират от N криви в реална степен d. Това реално множество отново се изразява чрез решетъчни пътеки.

Ами инверторът на Welschinger? По същия начин Михалкин прикрепи сигнализирано тегло към всяка тропическа крива (тропическа версия на знака на Уелшингер) и показа, че съответната претеглена сума е равна на неизменната на Уелшингер. Както и преди, това подписано тропическо тегло може да бъде изразено чрез решетъчни пътеки.

По време на семестъра в MSRI, Итенберг, Харламов и Шустин [IKS] използваха резултатите на Михалкин, за да оценят неизменността на Уелшингер. Те показаха, че W d \ geq d!/3 и, също така, W d = log N d + O (d), log N d = 3 d log d + O (d). По този начин, поне логаритмично, най-рационалните криви от степен d интерполират 3 d -1 реални точки в плана са реални.

Има два други случая на това явление на долните граници, първият от които предшества работата на Уелшингер. Да предположим, че d е равно и нека W (s) е реален полином от степен k (d - k +1). Тогава Еременко и Габриелов [EG] показаха, че съществуват реални полиноми f 1 (s), ..., f k (s) от степен d, чийто детерминант на Wronski е W (s). Всъщност те се оказаха долна граница за броя на k-плюсовете на многочлените, до еквивалентност. По същия начин, докато в MSRI, Сопрунова и I [SS] изучават редки полиномни системи, свързани с посети, показвайки, че броят на реалните решения е ограничен под знака на дисбаланса на позата. Такива по-ниски граници на изброителните проблеми, които включват съществуването на реални решения, са важни за приложенията.

Например, тази история беше разказана на бира една вечер в семинара на MSRI по геометрично моделиране и реална алгебрична геометрия през април 2004 г. Един от участниците, Schicho, осъзна, че резултатът W 3 = 8 за кубчета обяснява защо метод на което я развива да работи. Това беше алгоритъм за изчисляване на приблизителна параметризация на дъга на крива чрез реална кубична рационална интерполация на 8 точки на дъгата. Оставаше да се намерят условия, които да гарантират съществуването на решение близо до дъгата. Това беше решено само от Fiedler-Le Touzé, MSRI постдок, който изучава кубчета (не непременно рационални), интерполирайки 8 точки, за да помогне за класифицирането на реалните криви на планетата по степен 9.

Библиография

Бихме искали да благодарим на нашия редактор Силвио Леви и членовете на MSRI, чиято дейност описваме.

Подкрепено от грантовете на Националната научна фондация CAREER DMS-0134860 и DMS-9810361 (финансиране от MSRI) и Математическия институт на глината.