Тангентен метод (Нютон-Рафсън)

Материал от MachineLearning.

Съдържание

Нека се даде функция на реална променлива. Необходимо е да се намерят корените на уравнението

Проблемът с намирането на корените на уравнението (1) обикновено се решава на 2 етапа. На първия етап корените се отделят, т.е. избор на сегменти, съдържащи само един корен. На втория етап, използвайки първоначалното сближаване, се изгражда итеративен процес, който дава възможност да се прецизира стойността на търсения корен.

Изявление на метода

Тангентен метод (Нютон-Рафсън)

Нека има един корен от уравнение (1) на интервал:

но съществува, е непрекъснат и се различава от нулата нататък. Пренаписваме (2), както следва:

и приложете формулата на Лагранж към този израз:

Заменяме с, и - с и получаваме формулата за итеративния процес:

Допирателният метод има (при сближаване) квадратична степен на конвергенция:

Модифициран тангентен метод

Ако искаме да избегнем изчисляването на производната на всяка стъпка, тогава вместо къде е първоначалното приближение:

За разлика от обичайния допирателен метод, модифицираният метод предоставя по-малко изисквания за избора на първоначално приближение и също така гарантира липсата на разделяне на нула, ако

Модифицираният метод обаче има един съществен недостатък: линейната степен на конвергенция:

Геометрична интерпретация

Методът на Нютон-Рафсън се нарича още метод на допирателната, тъй като новото приближение е абсцисата на пресечната точка на допирателната, изтеглена в точката към графиката на функцията с оста OX.

---