СВЪРЗАН С ПАРАБОЛАТА
СВЪРЗАН С ПАРАБОЛАТА
Паршева Валентина Василиевна
научен съветник, почетен учител на Руската федерация, учител по математика, училище номер 24, Северодвинск
150%; фон: ">
Концепцията за допирателна линия е една от най-важните в математическия анализ. „Изследването на прави линии, допирателни до криви линии, до голяма степен определи развитието на математиката“ [2, с. 229]. Но допирателната линия може да бъде изтеглена към различни криви, включително параболата, която е показана от древни математици като Аполоний от Перга, Архимед, Пап, Исидор от Милет. Интересът към допирателните не намалява сред математиците от следващите поколения. Изследвания, свързани с изграждането на допирателни с помощта на аналитични методи, са извършени от R. Descartes, G.V. Лайбниц, И. Нютон.
150%; фон: ">
С помощта на компас и линийка е лесно да се изгради допирателна линия към кръга в дадената му точка. В древна Гърция те са знаели как да изграждат с помощта на компас и владетел допирателни към всички конични сечения: елипси, хиперболи и параболи, което показва високо ниво на развитие на геометрията по това време.
150%; фон: ">Уместност Работата е, че концепцията за допирателна към парабола, нейното уравнение се изучава само в клас 11 и свойствата му не се разглеждат. В същото време изучаването на въпроса за допирателната към парабола разширява познанията за параболата и обхвата на проблемите, които трябва да бъдат решени. В същото време идеята за използване на GCS GeoGebra за компютърно моделиране на изследвания проблем е от значение.
150% ">Проблемен въпрос: Понятието за допирателна към кривите е въведено в училищния курс по математика само в 11 клас с помощта на производна функция. Концепцията за производната на функция възниква много по-късно (XVII век) от концепциите за парабола и допирателна към нея. Възможно ли е, без концепцията за производната на функция, да се даде дефиниция на парабола, да се изведе нейното уравнение и придобитите знания да се приложат за конструиране на допирателна към парабола?
150%; фон: ">Цел на изследването: прилагат съществуващите знания за допирателната, за да изследват нови свойства на функция y = x 2 и се опитайте да използвате тези свойства за конструиране на допирателни към параболата y = x 2 без да се изчислява производната.
височина на линията: 150%; фон: ">
1. Установете местоположението на точките, които са точки на пресичане на взаимно перпендикулярни допирателни към параболата y = ax 2 .
височина на линията: 150%; фон: ">
2. Установете, че допирателната към параболата, преминаваща през точка А на параболата, е права линия, съдържаща бисектрисата на ъгъла, образуван от лъча AF, където A е фокусът на параболата, а перпендикулярът е паднал от точка A към директриса на параболата.
височина на линията: 150%; фон: ">
3. Установете, че точките, симетрични на фокуса на параболата по отношение на всички нейни допирателни, са разположени върху директорията на параболата.
височина на линията: 150%; фон: ">
4. Установете, че допирателните в краищата на фокалната хорда на параболата се пресичат върху директорията на параболата.
височина на линията: 150%; фон: ">
5. Въз основа на установените свойства на допирателната към параболата, идентифицирайте методите за изграждане на допирателната.
височина на линията: 150% ">
Анализ на училищните учебници по математика, математическа, справочна литература, литература по история на математиката.
височина на линията: 150% ">
Компютърна симулация на математически обекти с помощта на GCS GeoGebra (компютърен експеримент).
височина на линията: 150% ">
Анализ на данните, получени с помощта на компютърен експеримент.
височина на линията: 150% ">
Обобщение на шаблоните, намерени с помощта на компютърен експеримент.
височина на линията: 150%; фон: ">
Аналитични разсъждения.
150% ">Обект на изследване: парабола
150% ">Предмет на изследване: допирателна към парабола.
150% ">Изследователска хипотеза Очевидно, допирателната към парабола, както всеки геометричен обект, има свои собствени свойства, които ще разширят познанията ни за параболата.
150%; фон: ">
В учебната литература са дадени следните определения на допирателната към парабола:
150%; фон: ">Определение 1. Извиква се права линия, която има само една обща точка с парабола и не е успоредна на оста си допирателна към параболата.
150%; фон: ">
При математическия анализ допирателната към кривата в точка M се определя като пределно положение на секантния MN, когато точка N се приближава по кривата към точка M.
150%; фон: ">Определение 2. Допирателна към кривата в дадена точка MO се нарича пределно положение на секанта М0М1, при условие, че точката М1 клони към точката М0 по дадена крива [1, с. 21].
Извеждане на уравнението на допирателната към параболата y = ax 2 в точката M0 (x0; ax0 2)
150%; фон: ">