Съвети и трикове за алгоритъма GauЯ A
G3 Линейни уравнения и системи от уравнения
Алгоритъм GauЯ: съвети и трикове
На този етап няколко съвета и трикове за ръчно изчисление. Показано е как правилата за преобразуване могат да бъдат запомнени по-лесно и интелигентният избор на опорни елементи се обсъжда на пример. Предизвикателствата пред компютрите са обсъдени накратко накрая.
: Само запомнете правилата за преобразуване
Трик за получаване на аритметични инструкции
за да запомните, участващите елементи трябва да бъдат маркирани графично.
Важно е зигзагът винаги да се обработва от елемента, който трябва да се преобразува в основния елемент. Това може да означава отдолу нагоре, отгоре надолу, отляво надясно или отдясно наляво, в зависимост от това къде се намира елементът, който трябва да се преобразува, и въртящият се елемент.
Използвайте стандартизирана линия
При нормализиране на осевата линия изчислението е както следва:
Това е частична стъпка, която се извършва и при изчисляване на останалите елементи.
Елементите, участващи в преобразуването, са показани в таблицата:
Ако пивотната линия е нормализирана, работата може да бъде запазена при изчисляване на останалите елементи, докато усилията за нормализиране на пивотната линия са от друга страна.
Избор на опорни елементи
Интелигентният избор на шарнирни елементи също може да спести малко работа при ръчни изчисления, както е показано в следващия пример. Калкулаторът на тази страница има стъпка по стъпка опция. Ако това е зададено, опорните елементи могат да бъдат избрани на ръка, така че да можете да проверите собствените си изчисления.
Изход борда
Таблица 1
Таблица 2
Таблица 3
Таблица 1 -> Таблица 2
Разбира се, може да се избере a22 = 4 като опорен елемент. Тогава нулите, които се намират в 3-та колона, ще бъдат унищожени. Ако, от друга страна, е избрано a23 = 2.5, няма какво да се направи за попълване на третия панел.
Таблица 2 -> Таблица 3
Не е необходимо да преобразувате линията на въртене и числата стават малко по-хуманни, ако a44 = 1 е избрано като пивот елемент.
Фазата на заместване не е преизчислена. Крайният резултат е:
x1 = 1; x2 = 1/2; x3 = 1; x4 = -2;
Калкулатор и алгоритъм GauЯ
Като цяло, различни критерии се прилагат за избора на опорни елементи от компютрите. Например, аспектът на числената стабилност е важен. Тъй като компютърът не изчислява с дроби, възникват грешки при закръгляване. Съществува риск елементът, който всъщност е нула, да се появи като много малко число, което не е равно на нула поради грешка в закръгляването и да бъде фатално избран за въртящ елемент. Следователно компютърът може да бъде програмиран по такъв начин, че винаги да избира най-големия елемент по отношение на количеството от потенциалните опорни елементи.
1/3 → 0,33 1-3 0,33 = 0,01
Повече десетични знаци водят до по-малко грешки в закръгляването, но не решават основно проблема.
Вариант: Пълна елиминация (също алгоритъм GauЯ-Jordan)
В допълнение към частичното елиминиране и заместване има и вариант на алгоритъма GauЯ, в който има само една фаза, в края на която резултатът може да бъде прочетен директно. Като цяло има по-малко таблици, но изчисляването на отделните таблици е по-сложно.
Единствената разлика е, че елементите в редове, които вече са маркирани, също се преобразуват. За да го изпробвате: Калкулаторът на тази страница има съответна опция. Този вариант е известен още като алгоритъм GauЯ-Jordan.