СМЕСЕНИ И ГРАНИЧНИ ПРОБЛЕМИ ЗА СТОЙНОСТ ЗА ХИПЕРБОЛНИ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМИ
проблеми за намиране на решения на уравнения и системи с частични производни на хиперболични. от тип, които отговарят на определени условия на границата на зоната на тяхното задание (или част от нея) (вж. Гранични условия, Начални условия).
Задача за гранична стойност за хиперболичен. се наричат уравнения и системи, дадени в определена област на D-евклидовото пространство. смесена или начална граница, ако желаното решение, заедно с граничните условия, трябва да удовлетворява и първоначалните, или ако опората на граничните данни се състои както от характерни, така и от нехарактерни колектори, ориентирани по определен начин.
За хиперболични. уравнения от втори ред, носителят на изходните данни при формулирането на смесения проблем е пространствено ориентираната част на границата.Върху времево ориентираната част, като правило, се задават гранични условия от същия тип, както при параболичните . уравнения (вж. Смесени и гранични задачи за параболични уравнения и системи).
Позволявам е областта на пространството на точките x = (x 1,х2, . . ., x n) с достатъчно гладка граница a
В областта D е посочена линейна хиперболична. Уравнение от 2-ри ред
където сумиране от 1 до n се означава върху повтарящи се индекси i, j и формата е положително определена.
Основните смесени задачи за уравнение (1) са обхванати от следното твърдение: в областта D намерете решението и = и( x, x0) от уравнение (1), отговарящо на началните условия
и на S - едно от граничните условия
Където н - относителен оператор коннормален
Проблеми (2), (3); (2), (4) и (2), (5) обикновено се наричат първи, втори и трети смесен проблем за уравнение (1).
За уравнение (1), при доста общи предположения за неговите коефициенти и граници, както и за дадени функции, се доказва съществуването и уникалността както на редовни, така и на обобщени решения и на трите смесени задачи, структурните и диференциалните свойства на тези решения в затворен домейн се изследва в зависимост от гладкостта на границите му [8]. При n = 1 решението на проблемите с източници се изписва изрично.
Смесени проблеми се изследват за широк клас линейни и нелинейни хиперболични уравнения. уравнения и системи (вж. Квазилинейни хиперболични уравнения и системи). Изградена е задоволителна теория на смесените задачи за строго хиперболични проблеми. уравнения и системи на формата
с първоначални данни за (пространствено ориентираната) част от границата на региона д, лежи на равнината x 0 = 0. Постигнат е известен успех в изследването на смесени проблеми за хиперболични проблеми. уравнения и системи в случая, когато опорите на началните или граничните условия са повърхности на дегенерация от вида или реда на тези уравнения (вж. Дегенерирано уравнение с частични производни).