Ser2 - Страница 5

| е (а) | | ϕ 0 (а) | > 0,

откъдето f 0 ≡ const и, следователно, от следствието от теоремата на Хурвиц (раздел 14.3), функцията f 0 е едновалентна по D и следователно f 0 F a .

Помислете за функционала J: F a → C, даден от формулата

Съгласно раздел 16.3, той е непрекъснат на F a и (от лемата в раздел 16.3) достига горната си граница на F a, т.е. има функция f 0 F a такава, че

| е (а) | | f 0 (a) | за всички f F a .

Стъпка 3. Чрез дефиницията на семейство F a, функцията f 0 съответства съответно на домейна D в единичния диск U. За завършване на доказателството остава да се установи, че образът на D при това картографиране съвпада с целия диск U .

Лекция 17. Теорема на Риман

Ще използваме следния лесно проверяем имот

Нека първо покажем, че f 0 (a) = 0. Всъщност, да предположим,

напротив, че f 0 (a) =: c е ненулево. След това функцията

принадлежи на F a, но от формула (17.1) следва, че

строго по-голяма от | f 0 (a) |, противно на определението f 0 .

Нека сега покажем, че f 0 картографира домейна D върху единичния диск U, т.е. всички стойности b U \ < 0 >принадлежат към f 0 (D).

Всъщност, да предположим, напротив, че стойността b U \

не се приема f 0. След това помислете за функцията

дефиниран от еднозначен холоморфен клон на посочения корен в D (който може да бъде разграничен от теоремата за монодромията в раздел 10.6). Както в стъпка 1, се проверява дали функцията h е едновалентна в D, т.е. ч. F. По силата на формула (17.1) производната на функцията h (z) 2 в точката a е равна на f 0 (a) (1 - | b | 2). Следователно

| f 0 (a) | (1 - | b | 2)

Както видяхме по-горе, тази стойност може да се увеличи, като се разгледа вместо h функцията

---