Решаване на уравнения Решаване на обяснение и примери
Как можете да решите уравнения? Това е точно това, което тази статия предоставя обяснения, примери и упражнения. Разглеждаме прости линейни уравнения, квадратни уравнения и функции от по-висок ред. Системи от уравнения могат да бъдат решени с помощта на Гаусови методи или методи на заместване или добавяне. Като цяло целта е да се намери количеството разтвор с трансформации. Тази статия е част от нашата математическа секция.
Как можете да решите уравнение? Е, това зависи от вида на уравнението. И точно поради тази причина тук логично трябва да се справим с различни видове уравнения. Започваме с решаване на линейни уравнения.
Решаване или решаване на уравнения: Линейно уравнение
Решаването на линейни уравнения вече доведе до отчаяние много ученици. Така че нека започнем много просто. Затова започваме с нещо, което всеки трябва да знае от началното училище, уравнение. Не е шега!
Това е много просто уравнение. Защото отляво получаваме 7, а отдясно получаваме 7. Така получаваме 7 = 7, вярно твърдение. Това важи и за решаването на линейни уравнения. Новото сега е, че в уравнението се появява друга променлива. Какво е променлива Променливата е, така да се каже, „заместител“ за число. Поне в по-голямата част от случаите това е брой. В математиката обикновено се използва буква за това. Това е напр. a a, b, x или y. По-късно вместо тази променлива ще бъде използван номер. Целта е да се установи какъв е номерът на променливата. И точно с това ще се занимаваме в следващите раздели.
Както вече беше обяснено във въведението, сега трябва да бъде решено линейно уравнение с неизвестно. Това неизвестно обикновено се нарича "х" в клас, възможни са и други букви (променливи). Целта е "x = число" да бъде дадено като решение в края. Започва с много проста задача. Това е обяснено по-долу.
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 1: | |
| x + 2 = 5 | | -2 |
| x = 3 |
Първият ред съдържа уравнението на изхода, което трябва да бъде решено за променливата x. За да направите това, т.нар Еквивалентни трансформации или понякога се извършват просто трансформации. Това означава: Външният вид на уравнението се променя, но все пак същата стойност се появява от лявата страна, както от дясната страна на уравнението. За да се реши за "х", 2 отляво трябва да бъдат "елиминирани". За да премахнете +2, трябва да се очаква "-2". За по-добър преглед всички аритметични операции са последвани от "|" писмено. Така че сега "| -2" е записано, за да се види ясно, че 2 трябва да се приспадне. Много, много важно: Аритметичните операции трябва да се извършват от двете страни. Ако изчисля "-2" отляво, това трябва да се направи и отдясно!
Таблица, превъртаща се вдясно
| + 5
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 3: | |
| 4 = x + 2 | | -2 |
| 2 = х |
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 4: | |
| 4 - 3 + x = 5 - 2 | |
| 1 + x = 3 | | -1 |
| x = 2 |
Толкова за събирането и изваждането на уравненията. Пример 4 ясно показва, че често има смисъл да се опрости уравнението, преди да се извършат някакви трансформации.
Умножение и деление:
Досега трябваше да изчислите с "-2", за да премахнете "+2" и обратно. Това важи и за умножението и делението, за да се решат съответните уравнения. За да премахнете "· 5", трябва да изчислите ": 5". В началото звучи малко странно, но следващата задача ви показва как работи това. Тук също трябва да бъде решен за "x".
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 5: | |
| 5 · x = 15 | |: 5 |
| x = 3 |
Така че "x" да стои самостоятелно, трябва да се раздели на 5. Защото: 5: 5 = 1 и 1 · x = x. Ако това е твърде сложно за вас, просто трябва да запомните: За да се отдалечите на 5 х, трябва да разделя на 5. Забележка: Обозначението 5 x съответства математически на 5x. Ако между числото и променливата няма аритметичен символ, се извършва умножение. Така че и със следващите задачи.
Таблица, превъртаща се вдясно
0,5x = 2
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 7: | |
| 5 = 0,2x | |: 0,2 |
| 25 = х |
Нека направим малко по-трудна цялата работа. За следващите задачи ще е необходимо да обърнете внимание на точката преди реда и скобите. В противен случай резултатите (обикновено) ще бъдат грешни. Както винаги, нека започнем с пример.
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 8 | |
| 5 · 8 + x = 10 | |
| 40 + x = 10 | | -40 |
| x = -30 |
Тук важи същото: изчисляване на точки преди изчисление на редове. Първо се изчисляват умноженията и деленията, последвани от събиране и изваждане. И още две задачи:
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 9: | |
| 40 + 20x = 20 | |: 20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
Таблица, превъртаща се вдясно
| Пример 10: | |
| 3 + 5 · 2 + 5x = 10 | |
| 3 + 10 + 5x = 10 | |
| 13 + 5x = 10 | | -13 |
| 5x = -3 | |: 5 |
| x = -0,6 |
Решаване или решаване на уравнения: Квадратни уравнения
Току-що се бяхме занимавали с решаване или решаване на линейни уравнения. Сега да преминем към решаване на квадратни уравнения. Това естествено поражда въпроса: какво е квадратно уравнение? Е, това е уравнение с формата ax 2 + bx + c = 0 или уравнение, което може да бъде преобразувано в тази форма. Променливите a, b и c означават произволно число, като a трябва да е ненулево. Следват два примера или задачи: 3x 2 + 5x + 3 = 0 или x 2 + 2x + 1 = 0.
За разлика от "опростените" уравнения, които сме познавали досега (пример: x + 5 = 0), тук все още има квадратичен компонент. И така, как решавате това уравнение за х? Отговорът на този въпрос е PQ формулата, която искаме да разгледаме в този раздел. Забележка: В допълнение към формулата PQ има и други начини за решаване на квадратно уравнение (полунощна формула или формула ABC или също полиномиално деление). В тази изчерпателна статия за решаване на уравнения обаче искаме да представим само един вариант в детайли и сме решили формулата PQ.
Решаване на квадратно уравнение: формула на решение
Как можете да разрешите такова уравнение? За да намерите уравнение като За да решим x 2 + 2x + 1 = 0 за x, използваме формулата PQ по-долу. Сега ще ви дам формулата и малко обща информация. Не се паникьосвайте: няколко задачи обясняват това след това.
Решете квадратното уравнение:
- Поставете уравнението във формата x 2 + px + q = 0
- Разберете "p" и "q"
- Включете това във формулата PQ
- Използвайте го, за да изчислите решението
Толкова за плана. Време е да изчистите това с няколко задачи. Следвайте тези примери, като използвате списъка от 4 точки отгоре.
Важно ЗАБЕЛЕЖКА: За да не се объркат учениците с много дроби, някои примери са закръглени.
Пример 1:
Обяснения: „3“ пред х 2 ви притеснява! Винаги трябва да има "1", т.е. 1x 2. За да направите това, разделете на 3. След това прочетете p и q. Номерата на p и q се вмъкват във формулата на разтвора. След това се изчислява израза преди и под корена. След това коренът се взема от стойността и се добавя веднъж и се изважда веднъж. Квадратното уравнение има максимум две реални решения. Така че в училище квадратното уравнение има максимум две решения, в проучванията винаги има две решения (ако разрешите комплексни числа, но тук не се занимаваме с тях).
Пример 2:
Обяснения: Оригиналната задача вече е в правилната форма. Следователно p и q могат да бъдат определени еднакво. След това вмъкнете това в уравнението и го изчислете. Както можете да видите от резултата, решението -2 съществува два пъти, т.е. x1 = -2 и x2 = -2.
Решете уравнения с отрицателен корен
Има още два съвета за решаване на квадратни уравнения или квадратни функции с формулата PQ:
- Ако изчислите числата под корена и след това има отрицателно число под корена, можете да прекратите. Тогава уравнението няма решение (поне не за ученици, студентите след това трябва да направят въображаема аритметика).
- Обърнете внимание на знака! Например, ако трябва да решите проблема x 2 -5x + 3 = 0, тогава p = -5. След това трябва да използвате това -5 във формулата PQ!
И за двата случая можете да намерите пример тук:
Решаване на уравнения: формула ABC или формула за полунощ
Решаването на уравнения - или по-скоро квадратни уравнения - също може да се извърши с формулата ABC или формула за полунощ. Формулата ABC е много подобна на формулата PQ и се използва за решаване на квадратни уравнения. Ако изчислите правилно, ще получите един и същ резултат и с двете формули. Сега следва общата формула и решение и след това се обръщаме към пример.
Повече за този метод на решение в статията ABC формула.
Решаване на уравнения: 3-та степен и по-висока
Полиномиалното деление е математически метод, използван за изчисляване на нулите на многочлените. Може да се използва и за решаване на уравнения от по-висок ред. Методът на изчисление е подобен на писменото разделение, което сте опознали в началното училище. Поради тази причина по-нататък първо ще обсъдим накратко писменото деление и след това ще приложим това знание към полиномното деление.
За да не удължаваме статията тук, има всичко останало за полиномиалното деление в съответната статия: Полиномиално деление.
Решаване на системи от линейни уравнения
Нека разгледаме решаването на уравнения по различен начин. На първо място, трябва да знаете какво се разбира под система от уравнения с две променливи. На първо място, малък пример: Отивате да пазарувате и знаете, че 6 ябълки и 12 круши с особено добро качество струват 30 евро. И знаете, че 3 ябълки и 3 круши струват 9 евро. Въпросът сега е: Какво струва ябълка или круша? Тъй като термините ябълки и круши са твърде дълги, ние заместваме "х" за цената на ябълка и "у" за цената на круша. Това води до следните уравнения (сравнете ги с информацията в текста!):
Таблица, превъртаща се вдясно
| 6-то | Ябълки | и | 12 | Круши | разходи | 30 евро |
| 6-то | х | + | 12 | у | = | 30-ти |
| 3 | Ябълки | и | 3 | Круши | разходи | 9 евро |
| 3 | х | + | 3 | у | = | 9 |
Разбира се, това все още не изглежда толкова ясно. Поради тази причина в математиката е въведена следната нотация, за да се осигури по-добър преглед:
Таблица, превъртаща се вдясно
| | 6x + 12г | = | 30 | | Уравнение №1 |
| | 3x + 3y | = | 9 | | Уравнение # 2 |
Такава система от уравнения показва: Тези уравнения принадлежат едно на друго. Това е и причината, поради която те трябва да бъдат решавани заедно. Целта е да се получи число за x и y, което удовлетворява и двете уравнения. И сега ще се погрижим за това.
За да не удължаваме статията, има всичко останало относно линейните системи от уравнения в нашите системи от линейни уравнения.
Допълнителни статии:
- Формула ABC: С формулата ABC или полунощната формула можете също да решавате квадратни уравнения. Можете да научите как работи това в нашата статия ABC формула.
- Полиномиално деление: Полиномиалното деление е метод за намиране на нули в уравнения с по-голяма мощност. Можете да научите как работи това и как можете да го използвате за решаване на уравнения в статията Полиномиално деление.
- нулева точка: Как намирате нули? Подробна статия с различни методи, примери и задачи можете да намерите в статията Изчисляване на нули.