Равномерно разпределение
Както вече споменахме, законът на Гаус за разпределение на случайни променливи има много приложения. Съгласно този закон се разпределят грешки при измерване с инструменти, отклонение от центъра на целта по време на стрелба, размери на произведените части, тегло и височина на хората, годишни валежи, брой новородени и много други.
Горната формула за плътността на вероятността на нормално разпределена случайна променлива съдържа, както беше казано, два параметъра и и σ, и следователно определя семейство от функции, които се променят в зависимост от стойностите на тези параметри. Ако приложим обичайните методи за математически анализ на изучаването на функциите и нанасяне на графика към вероятностната плътност на нормалното разпределение, тогава могат да се направят следните изводи.
Вероятностна плътност f (x)> 0 за всички стойности х, и следователно графиката на функцията се намира над оста х.
Оста х е асимптотата на графиката при x → ± ∞, защото
Функция f (x) има една максимална точка x = a, и максималната стойност
Графиката на функцията е симетрична спрямо вертикална линия с уравнението x = a.
Използвайки втората производна, можете да се уверите, че точките на графиката
са точките на неговото огъване.
Въз основа на получената информация изграждаме графика на плътността на вероятностите f (x) нормално разпределение (нарича се Гаусова крива - картина).
Нека да разберем как влияе промяната на параметрите и и σ върху формата на гауссовата крива. Очевидно е (това се вижда от формулата за плътността на нормалното разпределение), че промяната в параметъра и не променя формата на кривата, а само води до нейното изместване надясно или наляво по оста х. Зависимост σ по-трудно. Горното проучване показва как стойността на максимума и координатите на точките на огъване зависят от параметъра σ . Освен това трябва да се вземе предвид, че за всякакви параметри и и σ площта под кривата на Гаус остава 1 (това е общо свойство на вероятностната плътност). От казаното следва, че с нарастващ параметър σ кривата става по-плоска и се простира по оста х. Фигурата показва гауссовите криви за различни стойности на параметъра σ ( σедин 2 . По този начин, за случайна променлива х, разпределени съгласно нормалния закон, са получени следните основни цифрови характеристики: