Рационална функция - математика в гимназията
Въведение
A напълно рационална функция е сума от степенни функции с естествени експоненти.
$$ f (x) = a_n x ^ n + a_ x ^ + \ dotsb + a_2 x ^ 2 + a_1 x + a_0 = \ sum_ ^ n a_i x ^ i \ qquad n \ in \ mathbb $$ \ (a_0, \ точки, a_n \) = коефициенти
\ (a_n \) = водещ коефициент, \ (a_0 \) = абсолютен член
Степен \ (n \)
The Степен напълно рационална функция е равна на най-високия показател.
Примери
| Степен \ (n = 2 \) | \ (-2 \ пъти x ^ 2 + 3 \ пъти x + 4 \) |
| Степен \ (n = 2 \) | \ (2 \ cdot x ^ 2 - 2 \) |
| Степен \ (n = 3 \) | \ (x ^ 3 + 2 \ cdot x - 1 \) |
| Степен \ (n = 4 \) | \ (x ^ 4 - 2 \ пъти x ^ 3 + 2 \ пъти \ пъти ^ 2 \) |
| Степен \ (n = 5 \) | \ (2 \ cdot x ^ 5 + x ^ 2 + 2 \) |
Специални случаи
| Степен \ (n = 0 \) | \ (a_0 \) | Постоянна функция |
| Степен \ (n = 1 \) | \ (a_1 \ cdot x + a_0 \) | Линейна функция |
| Степен \ (n = 2 \) | \ (a_2 \ cdot x ^ 2 + a_1 \ cdot x + a_0 \) | Квадратична функция |
| Степен \ (n = 3 \) | \ (a_3 \ cdot x ^ 3 + a_2 \ cdot x ^ 2 + a_1 \ cdot x + a_0 \) | Кубична функция |
Графика на функциите
Графиката на напълно рационална функция:
Начертайте произволна, напълно рационална функция
нулева точка
Напълно рационална функция има най-много толкова много нулева точка като нейната оценка.
За \ (n \ leq 3 \) определянето на нулите е описано в съответните статии (вижте специалните случаи по-горе).
За \ (n = 4 \) уравнението на функцията може да бъде зададено равно на нула. Получавате квартично уравнение, което може да бъде решено.
За по-големи \ (n \) нулите обикновено трябва да бъдат познати. Това се прави най-добре, като се използва схемата на Хорнър. Тъй като всички нули на напълно рационална функция трябва или да разделят водещия коефициент \ (a_n \) или абсолютния член \ (a_0 \), възможните нули вече са добре ограничени.
пример
Екстремни точки
Към Екстремни точки За да определите квадратна функция, имате нужда от първата и втората производна. След това можете да продължите по следния начин.
Необходимо състояние
Достатъчно състояние
симетрия
Равна функция
Ако всички показатели са четни числа, това се нарича рационална функция прав. Тя е тогава аксиално симетрични към оста Y. Прилага се следното:
Нечетна функция
Ако всички показатели са нечетни числа, това се нарича рационална функция странно. Тя е тогава точка симетрична към произхода. Прилага се следното:
Симетрия към други оси/точки
Ако във функционалното уравнение има както четни, така и нечетни експоненти, графиката няма проста симетрия. Графиката обаче все още може да бъде симетрична по отношение на други оси или точки: