Пръстенна алгебрична TSB енциклопедия
Значението на думата "пръстен алгебричен"
Пръстен алгебрична, една от основните концепции на съвременната алгебра. Най-простите примери за К. са следните системи (набори) от числа, разгледани заедно с операциите на събиране и умножение: 1) множеството от всички положителни, отрицателни и нулеви цели числа; 2) множеството от всички четни числа и като цяло цели числа, които са кратни на дадено число n, 3) множеството от всички рационални числа. Общото между тези три примера е, че добавянето и умножаването на числата, включени в системата, не изважда от системата (трябва да се отбележи, че изваждането не извежда и от системата). В различни области на математиката човек често трябва да се занимава с различни набори (те могат да се състоят например от полиноми или матрици, вижте примери 7 и 9), върху чиито елементи могат да бъдат изпълнени две операции, които са много сходни по своите свойства на събиране и умножение на обикновени числа. Предметът на теорията на К. е изучаването на свойствата на обширен клас множества от този вид.
Пръстенът е непразен набор R, за елементите на който са дефинирани две операции - събиране и умножение, съвпадащи с всеки два елемента a, b от R, взети в определен ред, един елемент a + b от R е тяхната сума и един елемент ab от R е тяхното произведение и се приема, че са изпълнени следните условия (аксиомите на К.):
I. Комутативност на добавянето:
II. Асоциативност на добавянето:
III. Обратимост на събирането (възможност за изваждане): уравнението a + x = b допуска решението x = b - a.
Изброените свойства показват, че елементите на К. образуват комутатив група относно добавянето. Допълнителни примери за К. могат да служат като набор; 4) всички реални числа; 5) всички комплексни числа; 6) комплексни числа от формата a + bi с цели числа a, b; 7) полиноми в една променлива x с рационални, реални или комплексни коефициенти; 8) всички функции, които са непрекъснати на даден сегмент от числовата линия; 9) всички квадратни матрици от порядък n с реални (или сложни) елементи; 10) всички кватерниони; 11) всички числа на Кейли - Диксън, т.е. изрази от формата a + b e, където a, b са кватерниони, e е буква; събиране и умножение на числата на Cayley - Dixon се определят от равенствата (a + b е) + (a1 + b1 e) = (a + a 1) + (b + b 1) e, (a + b е) (a1 + b 1e) = (aa 1 - b 1) + (aa 1 + b) e, където е кватернионът, свързан с a; 12) всички симетрични матрици от порядък n с реални елементи по отношение на операциите на добавяне на матрица и умножение "Йордания" a · b = (ab + ba); 13) вектори на триизмерното пространство в обичайното събиране и умножение на вектори.
В много случаи се налагат допълнителни ограничения върху умножението в К. Така че, ако a (bc) = (ab) c, тогава K. се нарича асоциативна (примери 1-10); ако равенствата (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb) се държат в пръстен, тогава той се нарича алтернативен пръстен (Пример 11); ако равенствата ab = ba, (ab) (aa) = ((aa) b) задържане в K., тогава се нарича Йорданов пръстен (Пример 12); ако равенствата a (bc) + b (ca) + c (ab) = 0, a 2 = 0 се задържат в K., тогава се нарича пръстен на Lie (Пример 13); ако ab = ba, тогава K. се нарича комутативна (Примери 1-8, 12). Операциите на събиране и умножение в К. в много отношения са сходни по своите свойства със съответните операции с числа. По този начин елементите на К. могат не само да се добавят, но и да се изваждат; има елемент 0 (нула) с обичайните свойства; за всеки елемент a има противоположен, т.е. елемент - a такъв, че a + (- a) = 0; произведението на всеки елемент по елемент 0 винаги е нула. Примери 8-9, 12-13 обаче показват, че К. може да съдържа ненулеви елементи a, b, чието произведение е равно на нула: ab = 0; такива елементи се наричат делители на нула. Асоциативна комутативна К. без делители на нула се нарича област на целостта (примери 1-7). Точно както в полето на цели числа, не всички К. могат да разделят един елемент на друг, но ако това е възможно, т.е. ако уравненията ax = b и ya = b са винаги разрешими за a ¹ 0, тогава K. е наречен тялото (примери 3-5, 10, 11). Асоциативно комутативно тяло обикновено се нарича поле (примери 3-5) (вж. Поле алгебричен). Доста важни за много клонове на алгебра са полиномите с една или повече променливи над произволно поле и матрици на матрици над асоциативни тела, които се определят подобно на теорията на примери 7 и 9. Много класове на К. все по-често намират приложение извън алгебра. Най-важните от тях са: К. функции и К. оператори, които изиграха голяма роля в развитието на функционалния анализ; алтернативни тела, използвани в проективната геометрия; така наречените диференциални К. и полета, което отразява интересен опит за прилагане на теорията на К. към диференциални уравнения.