Примери за правила за продукти
Примерите включват само рационални и тригонометрични функции, тъй като правилото за произведението обикновено се разглежда преди въвеждането на допълнителни функционални класове. Във всекидневния училищен живот - особено в основните курсове - правилото се изисква най-често във връзка с експоненциалната функция, която обикновено се въвежда веднага след правилата за извеждане.
Въпреки че можете да извлечете всяка сума поотделно за суми, това не е толкова лесно с продукт:
Правило за продукта
$ f (x) = u (x) \ пъти v (x) $ $ \ Посочете $ $ f '(x) = u' (x) \ пъти v (x) + u (x) \ пъти v '(x ) $
Кога имате нужда от правилото за продукта?
Казано свободно: винаги се нуждаете от нея, ако имате функция от формата „Срок с $ x $, умножен с $ x $“ (ако променливата се нарича $ x $). Няма значение кой фактор се нарича $ u (x) $ или $ v (x) $. Ако правилото за продукта не се изисква изрично, предварителното прекрояване често е по-лесно, особено при рационални функции.
Примери
- $ f (x) = (5x ^ 2-3) \ cdot (8x ^ 3 + 2x) $
Като начало изписваме факторите и ги извеждаме отделно:
$ \ beginu (x) & = 5x ^ 2-3 & u '(x) & = 10x \\ v (x) & = 8x ^ 3 + 2x & v' (x) & = 24x ^ 2 + 2 \ end $
В правилото за продукта се вмъква следното:
$ f '(x) = 10x \ cdot (8x ^ 3 + 2x) + (5x ^ 2-3) \ cdot (24x ^ 2 + 2) $
Ако задачата изисква терминът да бъде опростен след това, скобите трябва да бъдат разбити:
$ \ beginf '(x) & = 80x ^ 4 + 20x ^ 2 + 120x ^ 4 + 10x ^ 2-72x ^ 2-6 \\ & = 200x ^ 4-42x ^ 2-6 \ end $
При тази задача е основателно да попитаме дали прилагането на правилото за продукта има смисъл. Всъщност би било по-лесно първо да се прекъсне скобата и след това да се изведе. Ако вашият избор е ваш, направете това. Разбира се, ако бъдете помолени да използвате Правилото за продукта, трябва да го спазвате. - $ f (x) = x ^ 5 \ cdot \ frac $
Това е един от (безсмислените) примери, които за съжаление все още могат да бъдат намерени в голям брой в учебниците, макар че човек би могъл да извлече много по-лесно с предишно опростяване според силовите закони. За да можем да извлечем с правилото за продукта, първо пишем
$ f (x) = x ^ 5 \ cdot x ^ $
и след това изведете:
$ \ beginf '(x) & = 5x ^ 4 \ cdot x ^ + x ^ 5 \ cdot (-2x ^) \\ & = 5x ^ 2-2x ^ 2 \\ & = 3x ^ 2 \ end $
Ако първо опростите, не е необходимо нито правилото за продукта, нито последващото резюме:
$ f (x) = x ^ 3 \; \ Rightarrow \; f '(x) = 3x ^ 2 $ - $ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) $
В този случай правилото за продукта е от съществено значение. Факторите са толкова прости, че можете веднага да запишете резултата:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) $
Тук не е възможно да се направи обобщение. - $ f (x) = \ cos ^ 2 (x) $
Това е стенографичен начин за писане на $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 $. Тази функция може да бъде изведена според правилото на веригата, но правилото за произведение е възможно и чрез записване на квадрата като произведение на два равни фактора:
$ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 = \ cos (x) \ cdot \ cos (x) $
Сега правилото за продукта се използва отново:
$ \ beginf '(x) & = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \\ & = - 2 \ sin (x) \ cos (x) \ end $ - $ f (x) = 3 \ cdot (x ^ 4-4x) $
Това всъщност не важи за правилото за продукта, а за правилото за фактор, тъй като първият фактор не зависи от променливата $ x $. Ако все още прилагате правилото за произведението, не забравяйте, че производната на число е нула и в този случай не трябва да се пропуска, тъй като е фактор, а не сума.
$ \ beginf '(x) & = \ underbrace \ cdot (x ^ 4-4x)> _ + 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 12x ^ 3-12 \ край $ - $ f (x) = - 2 \ cdot x \ cdot \ cos (x) + \ frac 25x ^ 5 $
Не се бъркайте: не става дума за три фактора, а само за два, тъй като първият фактор е число. Първото изчисление се извежда според правилото за произведението ($ u (x) = - 2x $; $ v (x) = \ cos (x) $), второто "нормално", т.е. просто според правилото за мощност:
$ \ beginf '(x) & = - 2 \ cdot \ cos (x) -2x \ cdot (- \ sin (x)) + 2x ^ 4 \\ & = - 2 \ cos (x) + 2x \ sin ( x) + 2x ^ 4 \ end $
Понякога правилото за продуктите се разширява, като включва три фактора.
Правило за продукта за три фактора
$ f (x) = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \; $ $ \ Rightarrow \; $ $ f '(x) = u' (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v '(x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v (x) \ cdot w' (x) $
Така че всеки от трите фактора се извежда и умножава по другите два първоначални фактора; след това се добавят тези термини.
Деривация
Първо поставяме скоби, така че да имаме само два фактора, дори ако вторият фактор отново е продукт:
$ f (x) = u (x) \ cdot \ ляво [v (x) \ cdot w (x) \ дясно] $
Можем да извлечем този продукт съгласно правилото за два фактора:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ ляво [v (x) \ cdot w (x) \ дясно] + u (x) \ cdot \ ляво [v (x) \ cdot w (x) \ вдясно] '$
Терминът $ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$ също се извежда съгласно правилото за продукта за два фактора:
$ \ ляво [v (x) \ cdot w (x) \ дясно] '= v' (x) \ cdot w (x) + v (x) \ cdot w '(x) $
Разполагане:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ ляво [v (x) \ cdot w (x) \ дясно] + u (x) \ cdot \ ляво [v '(x) \ cdot w (x ) + v (x) \ cdot w '(x) \ дясно] $
Сега отваряме задната скоба и оставяме излишната скоба в първата сбирка и резултатът е налице:
$ f '(x) = u' (x) \ пъти v (x) \ пъти w (x) + u (x) \ пъти v '(x) \ пъти w (x) + u (x) \ пъти v (x) \ cdot w '(x) $
пример
$ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) $
Има три фактора, които не могат да бъдат опростени или обобщени предварително [1]. Следователно правилото се прилага за три фактора:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ sin (x ) \ cdot (- \ sin (x)) $
Резултатът може да бъде написан само малко по-кратък:
$ f '(x) = 2x \ sin (x) \ cos (x) + x ^ 2 \ cos ^ 2 (x) -x ^ 2 \ sin ^ 2 (x) $
Във всекидневния училищен живот правилото за продукта почти винаги е достатъчно за два фактора. Деривациите с три фактора са по-склонни да служат като „упражнение на техниката“.
[1] Всеки, който знае теоремите за добавяне на тригонометрични функции, ще разпознае възможност за опростяване. С това обаче много рядко се занимава в училище.