Позиционни връзки на два кръга в помощниците за учене на речник по математика
Две кръгове не могат да имат обща точка, да се докосват точно в една точка или да се пресичат точно в две точки.
Възможните секционни структури се получават аналитично чрез изследване на съответните кръгови уравнения за общи решения.
Използвайки т.нар Quatrefoil, при които се появяват всички възможни позиционни отношения, трябва да се обсъдят възможни позиционни отношения между два кръга.
Кръговете k 1 и k 4 нямат обща точка. Освен това те имат специално положение един към друг - имат един и същ център. Два кръга в това положение се наричат още концентрични .
Кръговете k 2 и k 3 имат точно една обща точка. Тази обща точка се нарича още контактна точка на окръжностите k 2 и k 3. В този случай произходът O е точката на контакт.
По принцип точката на контакт B на два кръга k и k 'винаги лежи върху Прави линии, свързващи двата центъра M и M 'от двата кръга, защото ако не беше там, човек би получил втора точка B' ≠ B, като отразява B в M M '¯, която също ще лежи и на двата кръга. Това би противоречило на уникалността на контактната точка Б.
Кръговете k 1 и k 2 се пресичат точно в две точки (точки на пресичане n).
Тъй като периметърът на триъгълника е ясно определен, две различни окръжности не могат да имат повече от две общи точки. Това води и до следното общо твърдение.
- Изречение: Ако два кръга k и k 'се пресичат в двете точки A и B, правата линия през A и B е перпендикулярна на правата линия, свързваща двата центъра на окръжността M 1 и M 2 .
Доказателство:
Според горните съображения, точка А не може да лежи на права линия, свързваща двете централни точки. Ако сега човек отразява точката A при M 1 M 2 ¯, точката на изображението A 'очевидно лежи върху двете окръжности k и k', така че A '= B трябва да се приложи.
Сега искаме позиционната връзка на два кръга аналитично определяне на. Същото се отнася за кръговете, както за правите линии и равнини:
Сечения от геометрични обекти се получават чрез търсене на общи решения на уравненията, които описват съответните обекти.
Изчисленията, необходими за това, не са особено трудни и за областта. Ако обаче трябваше да работим с неизвестни коефициенти като цяло, прегледът щеше да бъде загубен много бързо. Следователно трябва да е достатъчен типичен пример, в който се обсъждат всички необходими стъпки.
- Пример: Трябва да се изследва как кръгът с център M 1 (0; 3) и радиус r 1 = 1 L E и окръжността с център M 2 (3; 0) с радиус r 2 = 7 L E лежат помежду си.
Координатите (x S; y S) на възможни общи точки трябва да отговарят на уравненията на двете окръжности, така че трябва да се прилага:
(I) x S 2 + (y S - 3) 2 = 1 (I I) (x S - 3) 2 + y S 2 = 7
Сега първо решаваме скобите:
(I ') x S 2 + y S 2 - 6 y S + 9 = 1 (I I') x S 2 - 6 x S + 9 + y S 2 = 7
Ако сега извадите второто уравнение от първото, всички квадратни членове са пропуснати:
6 x S - 6 y S = - 6 b z w. y S = x S + 1 (*)
Поставяме това уравнение в (I), изчисляваме скобите и накрая получаваме:
x S 2 - 2 x S + 3 2 = 0 (∗ ∗)
В този момент обаче в този пример се решава общата позиционна връзка на двата разглеждани кръга. Нашите съображения доведоха до квадратно уравнение в x S, което не може да има нито едно, точно едно или две различни решения.
Съответно, кръговете, описани от уравнения (I) и (II), нямат, точно една или точно две общи точки. Наборът от решения - включително позиционната връзка на двата кръга - зависи от дискриминанта D, за който D = 1 - 3 2 0 се прилага в този случай. Следователно уравнението (∗ ∗) няма реално решение и следователно двата кръга, които разглеждахме, нямат обща точка.
Ако бяха получени решения, y-координатите на общите точки лесно биха могли да бъдат определени с уравнението (*).
Тъй като квадратното уравнение не може да има повече от две решения, две различни окръжности не могат да имат повече от две общи точки. Това още веднъж потвърждава нашите съображения (геометрични на изображението), изложени по-горе.
Забележка: Ако кръговете са описани чрез векторни уравнения, процедурата може да бъде аналогична или от векторното уравнение да се разработи съответно координатно уравнение.