Потапов М
§ 4. Степента на положително число
4.1. Рационална оценка
Решение.
1) 4 a 1,5 - 8 - 0,5 - 2 a + 2 a 0,5 + 4 = 4 a 1,5 - 8 - (a 0,5 - 2) 2 (a 0,5 - 2) (a + 2 a 0,5 + 4) = = 4 a 1,5 - 8 - a - 4 a 0,5 + 4 a 1,5 - 8 = - a + 4 a 0,5 a 1,5 - 8;
2) - a + 4 a 0,5 a 1,5 - 8 ⋅ a 2 - 8 a 0,5 a - 16 = - a 0,5 (a 0,5 - 4) a 0,5 (a 1, 5 - 8) (a 1,5 - 8) (a 0,5 - 4) (а 0,5 + 4) = - аа 0,5 + 4;
3) B = - a a 0.5 + 4 - 4 a 0.5 a 0.5 + 4 = - a 0.5 (a 0.5 + 4) a 0.5 + 4 = - a 0.5 .
Подчертаваме, че всички трансформации на израза B се извършват тук за онези a, за всеки от които всички разглеждани изрази имат смисъл, т.е. .
4.23. а) Може ли стойността на израза A = x 1 1 3 - x 1 3 x 1 3 - x - 2 3 + 0,25 - 1,5 - 9 (x - 2) 0 да е равна на 1?
Решение. Първо, трансформираме израза A, приемайки, че x> 0, x ≠ 1, x ≠ 2, тъй като в противен случай този израз е недефиниран:
A = x 1 3 (x - 1) x - 2 3 (x - 1) + (1 4) - 3 2 - 9 ⋅ 1 = x + 8 - 9 = x - 1 .
Сега нека разберем дали съществува такова x, отговарящо на условията x> 0, x ≠ 1, x ≠ 2, за които
Уравнение (1) има уникален корен x = 2. Това означава, че няма такъв x, който да отговаря на условията x> 0, x ≠ 1, x ≠ 2, за които равенството (1) е вярно. Следователно израз A не може да бъде равен на 1.
Междинен контрол. С-18.
4.3. Концепция за ограничение на последователността
В този параграф първо се въвежда понятието безкрайно малко (последователност или променлива), докато на основното ниво терминът „стремим се“ не е формализиран, достатъчно е да научим учениците да намират правилно безкрайно малко от предложените променливи. В учебника има формално определение за безкрайно малко в езика "ε - N", а също така се въвежда понятието за безкрайно голямо. Те са предназначени за напреднало изучаване на математика. Понятието за ограничение на последователността се формира, използвайки понятието за безкрайно малко.
Имайте предвид, че за някои студентски задачи 4.25 и 4.29 може да изглежда сложно, тъй като те не могат да разделят полином на моном, бином. Трябва да ги посъветваме да представят тези дроби като сбор от дроби.
В дидактически материали (раздел 19), редица примери за концепцията за границата на последователност.
Тъй като n> 0, ние преписваме неравенството (1) във формата
Тъй като n> 0 и ε> 0, неравенството (2) е еквивалентно на неравенството
Тъй като n> 0, неравенството (3) може да бъде пренаписано като
4,4 *. Гранични свойства
Тази клауза дава свойствата на границите на сумата, разликата, произведението и коефициента и свойството да се приема постоянен коефициент отвъд знака на лимита. Доказателствата за тези свойства не са предоставени от програмата и не са дадени в учебника.
Междинен контрол. С-19.
4.5. Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
В този параграф припомняме формулата за n-ия член на геометрична прогресия, формулата за сумата от първите n членове. Нека обърнем внимание на особеността на терминологията: не всяка безкрайно намаляваща прогресия е намаляваща прогресия. Ако - 1 q 0, тогава прогресията не намалява, например геометричната прогресия 1, - 1 2, 1 4, - 1 8,. не намалява, но е безкрайно намаляваща прогресия, тъй като q = - 1 2 и | q | един .
Добре известна психологическа трудност е свързана с безкрайно намаляваща прогресия, която учениците трудно могат да преодолеят: буквата S обозначава сумата от безкраен брой членове a + aq + aq 2 + ..., безкраен процес на добавяне не може да бъде попълнено, но сумата съществува и се изчислява по формулата a 1 - q .