Понятието за множество, подмножество, празен набор
Елементи на теорията на множествата.
"Под много ние разбираме обединението в едно цяло на определени, напълно различими обекти на нашата интуиция или нашата мисъл "- така Георг Кантор, основателят на теорията за множествата, описа понятието„ множество ".
Основните предпоставки на теорията на множеството на Кантор са както следва:
1 ° Комплектът може да се състои от всякакви различими обекти.
2 ° Наборът се определя уникално от набора от съставни обекти.
3 ° Всяко свойство определя набор от обекти, които притежават това свойство.
Ако x е обект, P е свойство, P (x) е обозначението, че x има свойство P, тогава чрез се обозначава целият клас обекти, които имат свойство P. Обектите, които съставят клас или набор, се извикват елементи клас или набор.
Терминът "Много"се използва като синоним на понятията за набор, колекция, колекция от някои елементи.
а) много пчели в кошера,
б) множеството точки на отсечката,
в) множеството върхове на квадрат или множествата от неговите страни и диагонали,
г) много ученици в класната стая и т.н.
В примерите, дадени в случаи а), в) -г) съответните множества се състоят от определен краен брой обекти, такива множества се наричат финал. Наборът от точки на сегмент (пример b)) не може да бъде преброен, поради което такива множества се извикват безкраен. Извиква се набор, който не съдържа елементи празен много.
Най-простата форма за определяне на набор е да се изброят неговите елементи, например A = (набор A се състои от три елемента - цели числа 4, 7, 13). Друга често използвана форма на настройка е посочването на свойствата на елементите от множеството, например A = - множеството от числа x, отговарящо на определеното условие.
Наборите обикновено се обозначават с главни букви A, B, C, ..., а елементите им са малки: a, b, c, ... A ∈ A (прочетено: a принадлежи на A) или A ∋ a (прочетено: A съдържа a) означава, което е елемент от множеството A. Празният набор се обозначава с Ø.
Ако всеки елемент от множеството B е и елемент от множеството A, се извиква множеството B подмножество комплект А (нотация - B ⊆ A или A ⊇ B).
Всеки набор е свой собствен подмножество (това е "най-широкото" подмножество на комплекта). Празният набор е подмножество на който и да е набор (това е „най-тесният“ подмножество). Всяко друго подмножество на множеството A съдържа поне един елемент от множеството A, но не всички негови елементи. Такива подмножества се наричат истински или правилни подмножества. За истински подмножества от множеството A използваме обозначението B ⊂ A или A ⊃ B. Ако едновременно B ⊆ A и A ⊆ B, тоест всеки елемент от множеството B принадлежи на A и в същото време всеки елемент на A принадлежи на B, тогава A и B очевидно се състоят от едни и същи елементи и следователно съвпадат. В този случай се използва зададеният знак за равенство: A = B. (Символите ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ се наричат символи за включване).