Плоски криви
1. История на изследването на равнинните криви
Понятието линия е дефинирано в човешкия ум в праисторически времена. Траекторията на хвърлен камък, поток от вода, лъчи светлина, очертанията на цветя и листа на растенията, ликвидационната линия на речните и морските брегове и други природни явления привличаха вниманието на нашите предци и, наблюдавани много пъти, послужи като основа за постепенното установяване на концепцията за линия.
Въпреки това отне дълъг исторически период, преди хората да започнат да сравняват формите на извити линии и да различават една крива от друга. Първите рисунки по стените на пещерно жилище, примитивни орнаменти, които украсяват домакинските прибори, показват, че хората вече са се научили не само да различават права линия от крива, но и да различават формите на отделни криви и, в техните комбинации, намери удовлетворение на възникващите естетически нужди. Но всичко това все още беше далеч от абстрактното разбиране на линията, която математиката има сега.
Вярно е, че историческите паметници от дълбока античност показват, че на определен етап от своето развитие всички народи са имали концепцията за кръг, да не говорим за права линия. За изчертаването на тези линии бяха използвани примитивни инструменти и имаше опити за измерване на областите, ограничени от линии и кръг. Както може да се види, например, от най-древния паметник на математическата култура - "папирусът на Ринда", египтяните през 17 - 20 век пр. Н. Е. Са били ангажирани в квадратура на кръг и са получили доста добро приближение за числото p, равно да се
Гръцки учени създадоха теорията за коничните сечения - линии, които са от особено значение в науката и технологиите. Откритието им се приписва на Менехм (4 век пр. Н. Е.), Ученик на Евдокс от Книд и, както се смята, учителят на Александър Велики. Menekhm определи тези криви като сечения на конус от равнина, перпендикулярна на неговата образуваща.
Каква беше причината за това откритие? Може би търсенето на решение на известния делиански проблем за удвояване на куб, може да има практически въпрос за това как удължен овал, разположен като архитектурна структура на фронтона на сграда, трябва да се разшири, така че от определено място в пред сградата изглежда, че е кръг.
Има доказателства, които предполагат, че Менехм е познавал свойствата на парабола и хипербола, изразени днес чрез равенствата y 2 = 2px и xy = c, и е използвал тези свойства за делианския проблем за удвояване на куб. За съжаление това първо есе за теорията на коничните сечения беше загубено. Също така, работата на гръцкия геометър Аристей, който написа пет книги за пространствените места, не достигна до нас, "от които Евклид взе много назаем за своята също загубена) работа върху конични сечения.
Архимед решава проблема с квадратурата на параболен сегмент. Сравнявайки фигурите, вписани в елипсата и в кръга, построен върху главната ос на елипсата, както и по диаметъра, той също така определи площта на елипсата.
Цялата информация за коничните сечения обаче все още беше разпръсната. Първата методична обработка на конични разрези принадлежи на Аполоний от Перга (3 - 2 век пр. Н. Е.). Това беше трактат за конусовидните сечения. В своя трактат Аполоний систематизира всичко, което е било известно преди него, и открива редица важни свойства, установява имената им.
Но не само коничните разрези са открити от гърците. Редица математици, в търсене на решения на големите проблеми на древността - проблемите за трисекция на ъгъл, удвояване на куб и квадратура на кръг - използваха идеята за движението, за да образуват криви. Така възниква спиралата на Архимед, циклоида, квадриса на Динострат. В същото време първоначалният метод - формирането на криви чрез изрязване на повърхността с равнина е използван за оформяне на кривите на Персей като участъци на тора.
През Средновековието големите постижения на гръцките учени бяха забравени.
Математическата наука се обърна към криви едва през 17 век, във връзка със създаването на аналитична геометрия.
1637 г. - една от големите дати в историята на математиката - годината на появата на книгата на Р. Декарт „Геометрия“, която очертава основите на метода на координатите. Откриването на този метод за изследване на криви е факт от първостепенно значение. Методът на координатите не само създава общ, еднороден начин за символно задаване на всяка крива под формата на уравнение, съответстващо на нея, но също така дава неограничена възможност за безкрайно увеличаване на броя на изследваните криви, тъй като всяко произволно написано уравнение, свързващо две променливи количествата сега представляват, най-общо казано, нова крива.