Пермутация на паритет, прим
Пермутация, съдържаща четен брой инверсии, се нарича четна, в противен случай - нечетна.
Лема. Ако има повече дължини в пермутацията, разменете елементите, тогава паритетът ще бъде обърнат.
Доказателства:
Нека докажем, че всяко транспониране променя паритета на пермутацията. За числата до него това твърдение е очевидно. Тяхното относително положение спрямо останалите числа остава същото и пермутацията на самите числа променя общия брой инверсии с един.
Сега нека има други числа между пермутираните числа, тоест пермутацията има формата .
Ще разменяме номера последователно със съседните числа. След това преместете числото, което вече е пред него, наляво, като използвате транспозиции с числа. Така общо ще извършим транспониране на съседни числа. Следователно паритетът на пермутацията ще се промени.
Лемата е доказана.
Дори пример за пермутация
Тази пермутация е четна, тъй като съдържа 2 инверсии, числата 3 и 2, 6 и 5 образуват инверсии.
Пример за нечетна пермутация
Тази пермутация е странна, тъй като съдържа 3 инверсии, числата 2 и 1, 5 и 4, 7 и 6 образуват инверсии.
Транспониране на промени паритет.
Лема. Всички -пермутации с дължина могат да бъдат подредени една след друга по такъв начин, че всяка следваща да бъде получена от предишната чрез едно транспониране. Освен това можете да започнете такова подреждане от всякакви пермутации.
Последствие. Когато броят на четните пермутации на символи е равен на броя на нечетните, т.е. .
- Белозеров Г.С. Бележки по лекция по алгебра и геометрия
- Курош А.Г. Курсът на висшата алгебра 431 с. М.: Наука, 1968, с. 28-30
- В. В. Воеводин Линейна алгебра 400 с. Москва: Наука, 1980, с. 122-124