Перфектни числа
Перфектните числа са красиви. Но е известно, че красивите неща са рядкост и малко. Почти всички числа са излишни и недостатъчни, но малко са перфектни.
„Перфектно се нарича това, което по добродетел и стойност не може да бъде предадено в неговото поле“ (Аристотел).
Перфектните числа са изключителни числа, не е за нищо, че древните гърци са виждали в тях някаква идеална хармония. Например числото 5 не може да бъде перфектно число и защото петте образуват пирамида, несъвършена фигура, в която основата не е симетрична на страните.
Но само първите две числа 6 и 28 бяха наистина обожествени. Примерите са много: в Древна Гърция най-уважаваният, най-известният и почетен гост е лежал на 6-то място на поканения празник, в Древен Вавилон кръгът е разделен на 6 части. Библията гласи, че светът е създаден за 6 дни, защото няма по-съвършено число от шест. Първо, 6 е най-малкото, съвсем първото перфектно число. Нищо чудно, че великите Питагор и Евклид, Ферма и Ойлер обърнаха внимание на него. На второ място, 6 е единственото естествено число, равно на произведението на неговите редовни естествени делители: 6 = 1 * 2 * 3. Трето, 6 е единственото перфектно число. Четвърто, число, състоящо се от 3 шестици, има невероятни свойства, 666 е числото на дявола: 666 е равно на сумата от сумата на квадратите на първите седем прости числа и сумата от първите 36 естествени числа:
Една геометрична интерпретация 6 е интересна, тя е правилен шестоъгълник. Страната на правилния шестоъгълник е равна на радиуса на описаната окръжност около него. Правилният шестоъгълник се състои от шест триъгълника с равни страни и ъгли. Редовният шестоъгълник се среща в природата, това е пчелната пита на пчелите, а медът е една от най-здравословните храни в света.
Сега около 28. Древните римляни много уважавали този брой, в римските академии на науките имало строго 28 члена, в египетската мярка дължината на лакътя е 28 пръста, в лунния календар 28 дни. И няма нищо за останалите перфектни числа. Защо? Гатанка. Перфектните числа обикновено са загадъчни. Много от загадките им все още не могат да се отгатнат, въпреки че това се е мислило преди повече от две хиляди години.
Една от тези загадки е защо смес от най-съвършеното число 6 и божествено 3, номер 666, числото на дявола. Като цяло между перфектните числа и християнската църква има нещо неразбираемо. В крайна сметка, за намирането на поне едно перфектно число за даден човек, всичките му грехове бяха простени и животът в рая след смъртта. Може би църквата знае нещо за тези цифри, за което никой никога не би се сетил.
След Питагор мнозина се опитваха да намерят следните числа или формула за тяхното извеждане, но това беше успяно от Евклид няколко века след Питагор. Той доказа, че ако число може да бъде представено като 2 p-1 (2 p-1) и (2 p -1) е просто, тогава е перфектно. Всъщност, ако p = 2, тогава 2 2-1 (2 2 -1) = 6, а ако p = 3, 2 3-1 (2 3 -1) = 28.
Благодарение на тази формула, Евклид намери още две съвършени числа, за p = 5: 2 5-1 (2 5 -1) = 496, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, и за p = 7: 2 7-1 (2 7 -1) = 8128, 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.
И отново, в продължение на почти една и половина хиляди години, нямаше пропуски в небето на скритите перфектни числа, докато петото число беше открито през 15 век, то също се подчиняваше на правилото на Евклид, само при p = 13: 2 13- 1 (2 13 -1) = 33550336. Като разгледаме по-отблизо формулата на Евклид, ще видим връзката между перфектните числа и членовете на геометричната прогресия 1, 2, 4, 8, 16; тази връзка е най-добре проследена на примера на древна легенда, според която Раджа обеща на изобретателя на шаха всяка награда. Изобретателят поиска да постави едно зърно жито върху първата клетка на шахматната дъска, две зърна във втората клетка, четири в третата, осем в четвъртата и т.н. Последната, 64-та клетка, трябва да се напълни с 264-1 житни зърна. Това е повече от всички реколти в човешката история. Формулата на Евклид ви позволява лесно да докажете многобройните свойства на перфектните числа. Например, всички перфектни числа са триъгълни. Това означава, че като вземем перфектния брой топки, винаги можем да добавим равностранен триъгълник от тях. Друго любопитно свойство на перфектни числа следва от същата евклидова формула: всички перфектни числа, с изключение на 6, могат да бъдат представени като частични суми от поредица от кубчета последователни нечетни числа 13 + 33 + 53 + Още по-изненадващо е, че сумата от реципрочното на всички делители на перфектно число, включително на него самия, винаги е равно на 2. Например, като вземем делителите на перфектното число 28, получаваме: