Перфектни числа • Евгений Епифанов • Научно-популярни задачи по „Елементите“ • Математика
Собствен делител естествено число е всеки делител, различен от самото число. Ако числото е равно на сумата на собствените му делители, то се извиква перфектно. И така, 6 = 3 + 2 + 1 е най-малкото от всички перфектни числа (1 не се брои), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 е друго такова число.
Перфектни числа са били известни в древността и са били интересни за учените през цялото време. Доказано е в „Елементи“ на Евклид, че ако просто число има формата 2 н - 1 (такива числа се наричат прости числа на Мерсен), след това числото 2 н-12 н - 1) - перфектно. И през 18 век Леонард Ойлер доказа, че всяко дори перфектно число има следната форма.
Опитайте се да докажете тези факти и намерете още две или три идеални числа.
Съвет 1
а) За доказване на твърдението от "Елементите" (какво, ако просто число има формата 2 н - 1, след това числото 2 н -12 н - 1) - перфектно), удобно е да се разгледа сигма функцията, която е равна на сумата от всички положителни делители на естествено число н. например, σ(3) = 1 + 3 = 4 и σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7. Тази функция има полезно свойство: it мултипликативна, т.е. σ(аб) = σ(а)σ(б); важи равенството за всякакви две съвместни естествени числа а и б (взаимно прости са числа, които нямат общи делители). Можете да опитате да докажете това свойство или да го вземете на вяра.
Използвайки функцията сигма, доказателство за перфектното число н = 2 н -12 н - 1) се свежда до проверка на това σ(н) = 2н. За това мултипликативността на тази функция е полезна.
б) Другото решение не използва никакви допълнителни конструкции като функцията сигма. Разчита само на дефиницията на перфектно число: трябва да запишете всички делители на числото 2 н-12 н - 1) и намерете тяхната сума. Трябва да получите същия номер.
Съвет 2
Също така е удобно да се докаже, че всяко дори перфектно число е степен на две, умножена по просто число на Мерсен, използвайки функцията сигма. Нека бъде н - някои дори перфектно число. Тогава σ(н) = 2н. Представете си н като н = 2 к ·м, Където м - нечетно число. Следователно σ(н) = σ(2 к ·м) = σ(2 к )σ(м) = (1 + 2 +. + 2 к )σ(м) = (2 к +единадесет)σ(м).
Оказва се, че 2 2 к ·м = (2 к +единадесет)σ(м). Следователно, 2 к +1 - 1 разделя продукта 2 к +един ·м, и тъй като 2 к +1 - 1 и 2 к +1 са съвместни, тогава м трябва да се дели на 2 к +1 - 1. Това е м може да се запише като м = (2 к +единадесет) ·М. Заместване на този израз в предишното равенство и намаляване с 2 к +1 - 1, получаваме 2 к +един ·М = σ(м). Сега има само една, макар и не най-очевидната стъпка, останала преди края на доказателството.
Указанията съдържат голяма част от доказателствата и за двата факта. Изпълняване на липсващите стъпки тук.
1. Теорема на Евклид.
а) Първо трябва да докажете, че функцията сигма наистина е мултипликативна. Всъщност, тъй като всяко естествено число може да бъде еднозначно разложено на прости множители (това твърдение се нарича основна теорема на аритметиката), достатъчно е да се докаже, че σ(pq) = σ(стр)σ(q), където стр и q - различни прости числа. Но е доста очевидно, че в този случай σ(стр) = 1 + стр, σ(q) = 1 + q, и σ(pq) = 1 + стр + q + pq = (1 + стр) (един + q).
Сега попълваме доказателството на първия факт: ако просто число има формата 2 н - 1, след това числото н = 2 н -12 н - 1) - перфектно. За да направите това, е достатъчно да проверите това σ(н) = 2н (тъй като функцията сигма е сумата от всички делители на числото, тоест сумата собствен делители плюс самото число). Ние проверяваме: σ(н) = σ(2 н -12 н - 1)) = σ(2 н -един)σ(2 н - 1) = (1 + 2 +. + 2 н -12 н - 1) + 1) = (2 н - 12 н = 2н. Използвано е тук, че по 2 н - 1 е просто число, тогава σ(2 н - 1) = (2 н - 1) + 1 = 2 н .
б) Нека завършим второто решение. Намерете всички правилни делители на 2 н -12 н - един). Това е 1; степени на две 2, 2 2,. 2 н -един; просто число стр = 2 н - един; а също и разделители на формата 2 м ·стр, където 1 ≤ м ≤ н - 2. По този начин сумирането на всички делители се разделя на изчисляването на сумите на две геометрични прогресии. Първият започва от 1, а вторият започва от число стр; и за двата знаменателя е 2. Според формулата за сумата от елементите на геометрична прогресия, сумата на всички елементи от първата прогресия е 1 + 2 +. + 2 н –1 = (2 н - 1)/2 - 1 = 2 н - 1 (и това е стр). Втората прогресия дава стр· (2 н –1 - 1)/(2 - 1) = стр· (2 н -единадесет). Общо, оказва се стр + стр· (2 н –1 - 1) = 2 н -един ·стр - от какво имаш нужда.