Относно дефиницията на компактни слаби кардинали
Четох в теорията на Jech's Set главата за великите кардинали. След като обсъди измерими кардинали, той се обръща към слабо компактните кардинали, които бяха обсъдени много по-рано в книгата. Върнах се към главата за слабите кардинали и започнах да я предефинирам.
Накрая стигна до този момент:
Денум $ [k] ^ n = \ $. Ако $ \ lambda $ е кардинал, ще извикаме $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $, когато за всеки дял на $ [\ kappa] ^ 2 $ в $ 2 $ имаме $ H \ subseteq \ kappa $, който е на мощност $ \ lambda $ и за които $ [H] ^ 2 $ е строго от едната страна.
И казваме, че $ \ kappa $ е слабо компактен, ако отговаря на свойството $ \ kappa \ to (\ kappa) ^ 2 $.
Проблемът е, че съм малко изгубен във всички тези дефиниции и дори не съм сигурен за обозначението $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $.
Въпросите ми са, ако да, може ли някой да ми помогне да разбера определени дефиниции и има еквивалентно определение за компактни слаби кардинали, което може да ми помогне да разбера по-добре техните свойства.?
2 отговора
Има много начини да се мисли за тези определения. Ето метод, който можем да разберем, например, какво означава $ [\ kappa] ^ 2 $ и какво означава да има хомогенна подмножина, която намирам за интуитивна.
Да предположим, че имате напълно неориентирана графика с много $ \ kappa $ възли. Това означава, че имате $ \ kappa $ и свържете всяка двойка от тях с линия. Сега приемете, че имаме два цвята, червен и син, и че всеки ред между два възела е оцветен или в червено, или в синьо. Подмножество от тези $ \ kappa $ възли се нарича хомогенно, ако линиите между всеки от неговите възли имат един и същи цвят (същото като да се каже, че има пълен подграф, чиито линии са от един цвят).
Сега казваме, че $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $ е вярно, ако независимо от боята тези линии, използващи два цвята, можем да намерим хомогенен набор от мощност $ \ lambda $. Това означава, че за всеки начин, по който цветът на линиите намираме $ \ lambda $ много възли, всеки ред между тях има един и същи цвят.
С други думи, за всяка $ f функция: [\ kappa] ^ 2 \ to 2 $ (това може да се разглежда като функция, която изпраща всеки два елемента от $ \ kappa $ към един от двата цвята), можем да намерим ($ h $), който има мощност $ \ lambda $, така че за всеки $ x, y, z, w \ в H $ имаме $ f (\) = f (\) $.
За да обобщим тази функция, ако за всяка функция $ f: [\ kappa] ^ n \ to \ mu $ (отново можете да видите тази функция като функция, която изпраща всеки $ n $ елементи от $ \ kappa $ към един от $ \ mu $ или че разделя подмножествата на $ \ kappa $ от мощност $ n $ на $ \ mu $ дялове), можем да намерим набор $ H $, така че $ \ left | Н \ дясно | = \ lambda $ и за всеки $ x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_n \ в H $ имаме $ f (\) = f (\
Нотацията на стрелката, въпреки че в началото изглежда странно, се използва, защото свойството остава вярно, ако заменим кардинала в лявата страна на стрелката с по-голям кардинал или ако заменим всеки кардинал в дясната страна на стрелката с по-малък кардинал (ако индексът в лявата страна на стрелката е пропуснат, тогава се приема, че е 2). Трябва да е очевидно, че нотацията има значение само ако $ \ lambda е добавен на 7 септември 2010 г. в 2:48 ч. Автор Джонатан