От интернет за метод - Страница 3
Глава 1. Постоянно електрическо поле
точка. Създава в точка A полето dE =
, където r = R2 + z2
- разстоянието от заряда до точка А. От съображения за симетрия става ясно, че в общата сила на полето само неговата проекция върху оста Z ще бъде ненулева .
Тъй като dE z = dE cos ϑ и cos ϑ =
Напрежението при z = 0 и при z → ∞ е нула и не променя знака по цялата положителна полуос. Това означава, че в един момент той достига своя максимум. За да намерите (E z) max, използвайте
= 0, от което намираме z max =
максималната стойност на напрежението е
E max = E z (z max) = 6 3 πε 0 R 2 .
За z >> R полето се различава малко от полето на точков заряд q, разположен в центъра на пръстена.
Отговор: E = E z = 4 πε 0 (R 2 + z 2) 3/2 .
Задача 1.3.6 (основна задача). Определете силата на полето по оста на тънък диск с радиус R 0, зареден равномерно с повърхностна плътност σ.
Нека изберем оста Z, съвпадаща с оста на диска (фиг. 1.7). Малкият елемент на дисковата повърхност, разположен на разстояние R от центъра, има площ dS = R d φ dR, където φ е полярният ъгъл. Елементарният заряд върху него може да се разглежда точково; то е равно
A
R dR
Фигура: 1.7. Определяне на силата на полето E по оста на заредения диск (задача
ЕЛЕКТРИКА И МАГНИТИЗЪМ. МЕТОД ЗА РЕШЕНИЕ НА ПРОБЛЕМА
dq = σ dS = σ R dR d φ. Съответно, силата на полето от този точков заряд в точка c координата z 0 ще бъде равна на
Нека разложим d E на два компонента - по оста Z и перпендикулярно на оста Z. Последният, когато се сумира върху площта на диска, поради симетрията на проблема, ще даде нула, а първият ще бъде равен на
dE z = dE cos ϑ, където cos ϑ = z 0. Тогава r
(R 2 + z 0 2) 3/2
Като R 0 → ∞ (или z 0 → 0) E z →
, тези. има тенденция към стойност
поле на равномерно заредена безкрайна равнина.
Забележка. Същият резултат може да се получи много по-лесно, като се използва решението на основния проблем 1.3.5. За целта избираме в равнината на диска малък пръстен с радиус r, който ще носи заряд dq = σ dS = σ 2π r dr и който, според решението на задача 1.3.5, ще създаде поле якост по оста на диска, равна по големина
4 πε 0 (r 2 + z 2) 3/2
2 ε 0 (r 2 + z 2) 3/2
Интегрирайки този израз над r от нула до R 0, получаваме желания отговор.
Задача 1.3.7. Зарядът е равномерно разпределен по повърхността на полукълбо с радиус R с повърхностна плътност на заряда σ. Определете силата на електрическото поле в центъра на полукълбото.
Глава 1. Постоянно електрическо поле
В сферична координатна система площта на повърхностния елемент е dS = R 2 sin ϑ d ϑ d φ. Елементарният заряд на тази област, който ще считаме за точка (фиг. 1.8), ще бъде dq = σ R 2 sin ϑ d ϑ d φ и създаденото от него поле в центъра на полукълбото е
dE = 4 πε σ 0 sin ϑ d ϑ d ϕ .
dq
Фигура: 1.8. Определяне на силата на полето E в центъра на зареденото полукълбо (задача 1.3.7)
Нека разширим това поле в компонент, насочен перпендикулярно на равнината на сечението на сферата (по оста Z)
dE z = dE cos ϑ = 4 πε 0 sin ϑ cos ϑ d ϑ d ϕ,