Нормално разпределение (Тема)
Нормалното разпределение е едно от най-често срещаните и важни, често се използва за приближаване на много случайни явления, например за произволно отклонение на действителния размер на продукта от номиналния размер, разпръскване на снаряди по време на артилерийски огън и в много други ситуации, в които резултатът е повлиян от голям брой независими случайни фактори, сред които няма особено видни.
Използването на нормалното разпределение за приблизително описание на разпределенията на случайни променливи не е възпрепятствано от факта, че тези количества обикновено могат да приемат стойности само от някакъв ограничен интервал (да речем, размерът на продукта трябва да бъде по-голям от нула и по-малко от километър), а нормалното разпределение не е концентрирано изцяло върху нито един интервал. Факт е, че вероятността от големи отклонения на нормална случайна променлива от центъра на разпределение е толкова малка, че на практика може да се счита за равна на нула.
Определение. Случайна стойност ξ има нормално разпределение разделяне на вероятностите с параметри a и σ 2 (кратко обозначение: - ξ
Н ( a, σ 2)), ако плътността му на разпределение е дадена по формулата:
.
Непрекъсната случайна променлива х, приема стойности от -∞ до + ∞. Значението на параметрите на нормалното разпределение е ясно показано по-долу.
Фигура: Нормална плътност на разпределение със средна μ = а и различни стойности на дисперсията σ 2
Забележка, че φ ( х) клони към нула при х → -∞ и х → + ∞. Функция φ ( х) симетрично по отношение на точката и . Нещо повече, в точката и функция φ х) достига своя максимум, което е .
Параметър и характеризира позицията на графиката на функцията върху числовата ос (параметър на позицията). Параметър σ (σ> 0) характеризира степента на компресия или разширяване на графика на плътността (параметър на мащаба). Както виждаме, целият набор от нормални разпределения е двупараметрично семейство.
Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива ξ, разпределени като N (a, σ 2), са равни
,
.
Медианата на нормалното разпределение е и, тъй като плътността на разпределение е симетрична спрямо точката x = a .