Нерационални преобразувания на изрази
Какво представляват ирационалните изрази?
Ирационалните изрази започват да се появяват на етапа на опознаване на корена на число, което обикновено се случва в уроците по алгебра в 8 клас. Тук интуицията подсказва, че ирационалните изрази са някак свързани с корените и това наистина е така. Следващата дефиниция потвърждава нашето предположение:
Ирационални изрази са изрази, съдържащи операция за извличане на корен. С други думи, ирационалните изрази са изрази с радикали (изрази, които съдържат коренови знаци в своите обозначения).
Ако е даден (присъства в израз) корен от следната форма:
тогава това означава, че
Просто обикновено две не се пишат в примери.
* Следователно такъв корен се нарича квадрат (корен от втора степен).
Ако все още има корен под корена, тогава можем да преобразуваме:
И още едно много важно свойство:
Лесно е да се докаже. Ние знаем, че:
Тоест, ако имаме корен от някаква степен и израз със същата степен под корена, тогава резултатът ще бъде точно този израз.
Разбира се, има и други, но те често се използват от вас при решаване на проблеми с обичайния квадратен корен:
Основните видове трансформации на ирационални изрази
Веднага отбелязваме, че при преобразуване на ирационални изрази, както и при преобразуване на всякакви други изрази, е необходимо да се вземе предвид обхватът на допустимите стойности (ODV) и да не се допуска стесняването му.
С ирационални изрази, както и с изрази от друг тип, можете да извършите някоя от основните идентични трансформации, било то отваряне на скоби, групиране и намаляване на подобни термини и т.н. Това е разбираемо, тъй като тези трансформации се основават на свойства на действия с числа, които са общи за числата от различен тип. Ясно е също така, че при трансформиране на ирационални изрази се запазва приетият ред на извършване на действия. Нека покажем решения на няколко примера.
Пример. Преобразувайте ирационален израз .
Решение. Като начало заменете корена на 81 със стойността му 9 (ако е необходимо, вижте извличането на корени), имаме
Очевидно полученият израз съдържа подобни термини, така че е препоръчително да ги намалите:
Пример. Използвайки съкратени формули за умножение, представете ирационален израз като продукт на два ирационални израза.
Решение. Очевидно ирационалният израз в скоби е квадратът на разликата, т.е.може да бъде заменен с, следователно
Сега деветката може да бъде пренаписана като 3 2, след това използвайте формулата разлика на квадратите:
В резултат на извършените идентични трансформации стигнахме до произведението на два ирационални израза, от които се нуждаем.
Съществуват и редица трансформации, свързани конкретно с ирационалните изрази. Нека разгледаме основните.
Трансформиране на радикален израз
Една от най-важните трансформации на ирационални изрази е следната: изразът под коренния знак може да бъде заменен с еднакво равен израз. Първо ще дадем примери за неговото изпълнение, след което ще обясним на какво се основава.
Това твърдение дава възможност за работа с радикални изрази. Например, позволява сумата под корена в израз да бъде заменена със стойност, т.е. да отиде до корена. Друг пример: ирационален израз може да бъде заменен с израз, идентично равен на него .
Защо се извършва тази трансформация? Факт е, че когато дадохме дефиницията на корена на числото a, казахме за неговата уникалност. Тоест няма номер аедин, различен от а, за които равенството е вярно, това равенство е възможно само за a = aедин. Също така знаем, че стойностите на еднакво равни изрази A и Aедин са равни за всякакви допустими стойности на променливите. От тези факти следва разглежданото твърдение.
Използване на коренови свойства
Свойствата на корените се използват широко за еднакви трансформации на ирационални изрази. Например, като се използва свойството wherea≥0, b≥0, от ирационален израз може да се премине към еднакво равен израз. И имотът къде a≥0, позволява изразът да бъде пренаписан като .