Нека се видим в 4D - четвъртото измерение се демонстрира математически
Материал, изработен от Александру Ламба
Проблемът с изучаването на многомерните тела не е нов. Въпреки че конкретният свят, в който живеем, има само три измерими материални измерения, като самата Вселена е триизмерна, понятия като „мултивселена“ или „n-мерни пространства“ са разработени както в света на изкуството, така и в точните науки. можеше да каже, и то в тази на мистиката.
В света на изкуството SF най-много се интересува от многоизмерността, въпреки че с течение на времето това не е една от любимите му теми, а само полезна концепция. По този начин най-удобният начин за пътуване през космоса в SF остава „червеевата дупка“, пряк път през „гънка“ на триизмерното пространство в многомерната мултивселена, но това е само режим на трансфер, изкуство, а не проблем. да се изучава.
Това е многопространствена геометрия
Макар и интересна и само от тази гледна точка, въпросната история иска още веднъж да изуми, когато лансира въпроса: „но по-нататък, какво ще бъде?“. Точно по този въпрос бих искал да се съсредоточа върху следното, по възможно най-практичния и "визуален" начин. Защото, независимо дали става въпрос за литература, физика или геометрия, които не можем да визуализираме, ще бъде много трудно за нас да разберем напълно. И това въпреки факта, че светът на науката отдавна е приел факта, че само възприятието не може да определи реалността.
Окото се решава за части от секундата, ако се предлага в позната форма, което би отнело на ума може би часове, за да се анализира само от уравнения или низове. Самата концепция на графиката на функцията го доказва, използвана не само в математиката, но и в икономиката или социалните изследвания. В този случай, ако се върнем към геометрията, не мисля, че е чудно, че графичното представяне е основата на разбирането.
Разбира се, простата картина е неточна и недостатъчна, но е необходима при решаването на който и да е проблем в този клон на математиката. Именно за тези графични изображения ще говорим по-късно, опитвайки се, както ни призовава Едуин Абът Абот от XIX век, да визуализираме това, което е отвъд нашето триизмерно пространство. Ще направим същото, както учителят по английски в своя литературен подход (наричан още математическа фантастика), започвайки от еволюцията на двуизмерното до триизмерното.
Визуализация на хиперпространството
Първо ще фиксираме координатните системи за справка, като започнем от чертежа на триизмерна система от декартови оси на хартия. Както е известно, планът (например лист хартия) има само две измерения. Това обаче никога не ни спираше да рисуваме и разпознаваме триизмерни тела, нали? Как точно правим това? Е, много просто: заблуждавайте окото, карайте ги да мислят, че определени ъгли са прави, въпреки че не са. По същия начин ще се опитаме да ги подлъжем да видят четиримерни тела.
По-долу виждаме как, чрез добавяне на ос под определен ъгъл (ос z) към x-y координатната равнинна система, получаваме фалшива триизмерна система (с всичките три оси съответно перпендикулярни), но която окото приема като такава без проблеми. Човешкото зрение само по себе си е плоско, ретината е разположена на повърхността и дълбочината не се възприема директно, а чрез триангулация и ... "опит".
Окото вижда плоски образи, които въз основа на предварителното познание за реалността транспонира в космоса. Е, именно този несъвършен механизъм на зрението може да ни помогне да го принудим дори отвъд реалното. Тъй като окото може да се убеди, че оста z се отклонява от равнината, то може да се убеди, че четири линии са съответно перпендикулярни. По-конкретно, като процедираме по-горе, ще започнем от космическия модел на система от пространствени координати xyz с всичките три перпендикулярни оси и ще добавим четвъртата под определен ъгъл, след което ще принудим окото за да видите всякакви две от четирите оси като перпендикулярни една на друга.
(За да предложите лесно възстановимо решение, можете да изберете лесно достъпни магнитни топки и пръчки) По този начин ще получим дефинирана геометрична единица от четири измерения, която ще наречем по-нататък. хиперпространство.
Можете ли, ако опитате, да се убедите, че всякакви две оси са перпендикулярни? Перфектно, ние сме на прав път! Освен това можем да принудим окото да приеме за валидна такава система от оси, дори нарисувани на хартия, като нарисуваме две оси, наистина перпендикулярни една на друга и маркираме останалите ъгли като прави:
И така, както добавяйки ос z към равнината xy, ние получихме пространството xyz, имащо три равнини перпендикулярно: xy, xz и yz, добавяйки друга ос q към пространството xyz, получихме четиримерното хиперпространство xyzq, имащо четири пространства "перпендикулярни" между те: xyz, xyq, xzq и yzq, съответно шест перпендикулярни равнини: xy, xz, xq, yz, yq и zq. Можете ли да ги разгледате? Има всяко, визуално, триизмерни пространства, съответно планове?
За да сме сигурни, че не сме забравили нито един елемент, можем да използваме комбинаторното изчисление: имайки брой от четири ортогонални оси и знаейки, че се нуждаем от две за равнина и три за пространство, проблемът с определянето на техния брой е същият като решаването Cn k: където n = брой налични оси и k = брой необходими оси (C4 2 = 6, в случай на планове на хиперпространство, съответно C4 3 = 4, в случай на пространства на хиперпространство). Точно същото изчисление е основата за определяне на броя на равнините в триизмерно пространство, но тъй като е толкова често срещан проблем, решаването му изглежда присъщо.
Сега, когато дефинирахме хиперпространството, нека го попълним, защото тук наистина искахме да отидем: да видим четиримерни хипертела. В тази статия ще бъдем доволни от визуализацията на най-простите от тях, а именно правоъгълният хиперпаралелипипед (брат с неравностойни страни на хиперкуба или тесеракта) и правоъгълният хипертетраедър. Ще ги конструираме въз основа на правоъгълния паралелепипед, съответно правоъгълния тетраедър, по същия начин, по който последните са конструирани въз основа на правоъгълника, съответно правоъгълния триъгълник.
Правоъгълен хиперпалалелипипед
Да започнем със строителството хиперпаралелипипедулуи, като се започне от обикновен правоъгълник в равнината x-y. Интуитивно можете да видите как, като "издърпате" или "умножите" правоъгълника по оста z, получавате правоъгълния паралелепипед. Използвайки същата процедура в пространство 4D, ще „изтеглим“ паралелепипеда по оста q и правоъгълният хиперпаралелип ще се появи, както следва:
За по-изрично представяне може да се направи 3D модел, както е показано по-долу, от две еднакви паралелепипеди, имащи съединените ъгли на успоредни страни, начертани по оста q, фалшив перпендикуляр на всички останали:
След като моделът бъде направен, ви предизвиквам да идентифицирате и „визуализирате“ всички правоъгълни паралелепипеди, които ограничават този хиперпаралелипид! Ще видите, че щом убедите очите си да приемат няколко фалшиви прави ъгъла като правилни, триизмерните тела, които „обличат“ това 4D тяло, ще изглеждат толкова нормални, колкото правоъгълниците с форма на паралелограм, които затварят правоъгълен паралелепипед, нарисуван върху хартия.
И тъй като научният подход не е пълен без няколко уравнения, предлагам да анализирате основните характерни размери на тези тела, като запазите аналогията с правоъгълника и правоъгълния паралелепипед. Кои са тези? Е, за правоъгълника (плоска фигура) - площта и периметъра, а за паралелепипеда (триизмерно тяло) - обема и страничната площ.
Забелязваме, че и двете тези геометрични образувания се характеризират с размер, специфичен за тяхното пространство, определен от максималния брой налични размери. Първо, площта (2D) за правоъгълника и обема (3D) за паралелепипеда - величини, които определят колко пространство всъщност заемат обектите. Тогава размер, неподходящ за това пространство, определен от брой измерения, една единица по-малък от това пространство, размер, който представлява обекта, който геометрично "затваря" това тяло: периметъра (1D) в случая на правоъгълника, съответно страничната площ (2D ) в случая на паралелепипеда.
Разширявайки се, хиперпаралелипипедът ще бъде дефиниран от a хиперволум (4D) и a страничен обем (3D), представена от сумата от обемите на паралелепипедите в нейните крайници. Защото ако правоъгълник е затворен от сегменти и паралелепипед е затворен от правоъгълници, хиперпаралелипипедът ще бъде затворен от паралелепипеди, нали? Точно осемте, които идентифицирахте малко по-рано.
Като начало, нека изброим известните геометрични формули.
Интуитивно, следвайки 2D и 3D формулите, търсейки правило и разширявайки го до 4D, ще се изкушим да повярваме, че:
Това са проверени формули за предходните два случая. За страничния обем на хиперпаралелипипеда не е необходима демонстрация, простото проследяване на паралелепипедите в крайниците му, чиито изчислителни формули за обем знаем, е достатъчно, за да се установи, че интуицията е била правилна.
За хипертома може да се използва интегралният метод за изчисляване, за да се демонстрира формулата. По аналогия с изчисляването на площта чрез простия интеграл, съответно изчисляването на обема чрез двойния интеграл, определянето на хипертома ще бъде направено с помощта на тройния интеграл, както е показано по-долу. Въпреки че в тройната интегрална математика по обем обикновено се приема, че представлява "плътност", четвърто физическо измерение може да я характеризира още по-добре.
Поради факта, че избрахме тези обекти по такъв начин, че да съдържат само успоредни страни, интегралното изчисление става много просто, като всички функции, които трябва да се интегрират, са всъщност постоянни:
Правоъгълният хипертетраедър
Сега, когато сме стоплили ума си с този много прост случай, нека разгледаме второто тяло, а именно правоъгълният хипертетраедър. Както и в предишния случай, ще продължим, като наблюдаваме как възниква, започвайки от правоъгълния триъгълник.
Сега, вместо да „рисуваме“ или „умножаваме“ триъгълника в равнината xy по оста z, ще вземем точка на оста z, на известно разстояние от равнината на триъгълника, и ще я съединим с всички ъгли. като по този начин се получава правоъгълният тетраедър. Сякаш „умножаваме“ триъгълника, „свиваме“ го постоянно, до крайната точка. По същия начин, разглеждайки този път точка на оста q извън пространството x-y-z и я съединявайки с четирите точки на правоъгълния тетраедър, получени по-рано, ще генерираме правоъгълния хипертетраедър.
И в този случай за по-добър изглед можете да направите 3D модел, както е показано по-долу, като започнете от правоъгълен тетраедър и изчертаете ръбовете от всеки от ъглите му до точка на оста q, фалшивата перпендикулярна на всички останали. три от пространството xyz: можете ли да идентифицирате четирите тетраедри, които се появиха и да разграничите 4D тялото? Убеден съм, че да.
Съответните геометрични формули в този случай биха били:
Отново формули, които се оказват верни в 2D и 3D.
Страничният обем отново е относително лесен за доказване, следвайки изображението и идентифицирайки четирите обема на правоъгълните тетраедри, чиито формули знаем, плюс обема на основния тетраедър, изчислен с разширената теорема на Де Гуа. И демонстрацията чрез интегриране на тройни обеми за хипертетраедрен хиперобем е следната (тук нещата стават малко сложни, тъй като функциите за интегриране, макар и линейни, вече не са постоянни, а всички намаляват с определен наклон):
За още по-добра визуализация, подобно на процеса, при който триизмерно тяло се проектира в трите равнини, като по този начин се постига представяне в "ясно", а четиримерните тела могат да бъдат проектирани в четирите 3D пространства, както е показано по-долу, като се получи по този начин "изгледът" във всяко от четирите компонентни пространства на хиперпространството върху изследваното хипертело:
Как ви предизвиквам да моделирате, рисувате и анализирате други четиримерни тела. И, ако се чудите защо би било интересно визуално представяне на абстрактни тела, дефинирани в повече измерения от конкретния свят, нека просто кажем това, защото не можем да знаем кога и как по-сложни светове ще ни призоват да ги изследваме.