Например; Решения за упражнение лист 36

актуализирано: 6 юли 2004 г.

през първата

  • [Общ преглед]
  • [Информационна страница]
  • [свързани задачи]
  • [Решения за лист 36]
  • [Архив на задачите]
  • [Регистрация]
  • [За нас]
  • [Наляво]
  • [Гореща линия]
  • [Електронна поща]


Каролин купува 4 кг диня, която се състои от 99 (масови) процента вода. Небрежно тя ги оставя на слънце твърде дълго, докато пъпешът е само 98 процента вода. Колко тежък е пъпешът тогава?


Тъй като пъпешът първоначално се състои от 99 процента вода, той съдържа 1 процент от други (твърди) вещества. Това съответства на 40 грама. След като част от водата се изпари, тези 40 грама съставляват 2 процента от общата маса според задачата. Така че пъпешът тежи само 40. = 2000 грама. В резултат на това пъпешът губи половината от теглото си.


Много криволичеща музейна стая трябва да се пази от трима пазачи. Всеки трябва да стои на място, от което може да наблюдава цялата стая. След кратко търсене двама от пазачите намират две (различни) такива места и се установяват там. Третият пазач броди известно време из стаята без успех. Можете ли да му дадете съвет къде да намери подходящо място?


Третият пазач може да избере всяка точка от връзката между позициите на първите двама пазачи.
Защо? Нека A и B са позициите на първите двама пазачи, а C е точка на свързващата им линия. Освен това нека X е всяка точка в пространството. Ако човек не може да види точка X от C, на сегмента CX ще има точка Y, на която е разположено препятствие.

От друга страна, пазачът в А вижда цялата стая, особено X. Следователно цялото разстояние AX трябва да се движи в пространството (т.е. трябва да е без препятствия) и затова пресечната точка Z на правата линия през B и Y с AX лежи във вътрешността на стаята и там няма пречка. И накрая, пазачът в B също вижда всичко, особено Z, и следователно цялата линия BZ трябва да бъде в космоса, което би противоречило на позицията на Y.
Така че няма такава точка Y и целият сегмент CX може да се види от C свободно. По този начин пазачът в С вижда всяка точка в пространството.


Забележки: Стая като нашата музейна стая, в която има точка, от която може да се види цялата стая (или с други думи: в която всяка връзка от тази точка до друга точка в тази стая лежи изцяло в стаята), се нарича звездовидна .

И с нашето доказателство показахме, че множеството от всички точки, от които може да се види цялото пространство, е изпъкнало. (Дефиницията на изпъкнало е именно, че за всеки две точки в даден комплект принадлежи и свързващата линия към множеството.)

Има и примери, при които третият охранител не може да бъде поставен на друго място, освен по маршрута между другите двама охранители:


Покажете, че числото 3 2048 - 1 се дели на поне 12 различни прости числа.

Това е 2048 = 2 11, което означава, че можете да приложите третата биномна теорема единадесет пъти и по този начин да получите дванадесет фактора:

3 2048 - 1 = (3 1024 + 1) (3 1024 - 1)
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 512 - 1)
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 256 + 1) (3 256 - 1)
.
= (3 1024 + 1) (3 512 + 1) (3 256 + 1) (3 128 + 1) (3 64 + 1) (3 32 + 1)
. (3 16 + 1) (3 8 + 1) (3 4 + 1) (3 2 + 1) (3 1 + 1) (3 1 - 1)

С това обаче не сме приключили, тъй като трябва да покажем съществуването на дванадесет различни основни фактора при разлагането. Следователно сега показваме, че тези фактори по двойки имат 2 като най-големия общ фактор (gcd). За тази цел нека r> s са две естествени числа. то е

3 2 r + 1 = 3 2 r - 1 + 2
= (3 2 r-1 + 1) (3 2 r-1 - 1) + 2
.
= (3 2 r-1 + 1) (3 2 r-2 + 1). (3 2 s + 1) (3 2 s - 1) + 2,

по този начин кратно на (3 2 s + 1) плюс 2. Така GCF от 3 2 r + 1 и 3 2 s + 1 трябва да е коефициент 2. Тъй като (3 2 t + 1) очевидно е четно за всяко цяло t 0, gcd е точно 2.

Тъй като 3 1 - 1 = 2, gcd (3 2 r + 1, 3 1 - 1) = 2 за r 1.

Тъй като всеки фактор 3 2 r + 1 с r 0 е по-голям от 2, всеки от тези единадесет фактора следователно осигурява (поне) свой собствен главен фактор за разлагането. За съжаление 3 дава 1 + 1 = 2. 2 по този начин само фактор 2; това означава, че фактор 2, който иначе все още се среща и е единственият делител на 3 1 - 1, не може да се използва допълнително. Така че се нуждаем от още един основен фактор. 3 4 + 1 = 2. 41 не помага, но е 3 8 + 1 = 6562 = 2. 17-ти 193 и така имаме поне дванадесет различни основни фактора.

За да разберете колко точно (различни) основни фактора има числото, е необходима тежка артилерия и известно изчислително време. Нямахме толкова време и търпение. В края на краищата Mathematica установи много бързо, че факторите (3 128 + 1)/2 до (3 1024 + 1)/2 не са прости числа. (3 16 + 1)/2 до (3 64 + 1)/2 са прости числа и след това Пари разкрива в разумен период от време, че (3 128 + 1)/2 има пет различни прости множители, най-малкият от които е 257.


На планетата Капа наскоро учените определиха радиусът на тяхната планета точно 1000 км. Петте най-големи града в Капа трябва да бъдат свързани с директни железопътни линии през следващите няколко години; всяка година маршрутът между двойка градове трябва да бъде завършен. Средствата през първата година обаче са достатъчни само за 1 571 км железопътни линии.
Покажете, че все още можете да постигнете плана през първата година!


Тъй като през първата година можете да построите железопътна линия от 1571 км, трябва да покажем, че сред петте града в Капа има два, които са на разстояние най-много 1571 км. (Разстоянието, разбира се, е това на повърхността на сферата.) Тъй като обаче не знаем къде са градовете на Капа, трябва да покажем, че за всяка подредба има двойка градове с максимално разстояние 1571 км.

Доказваме това косвено, като приемаме обратното и водим до противоречието. Тук означава обратното: Предполагаме, че петте града са разпределени на Капа по такъв начин, че два от тях са на повече от 1571 км един от друг.


Тъй като Kappa има радиус от 1000 км, обиколката му е

Със средствата през първата година можете да изградите една четвърт от размера и малко повече с железопътни коловози.

Чрез завъртане на топката, ако е необходимо, можем да приемем, че първият град А се намира "отдолу", т.е.на Южния полюс. Тогава всички точки на екватора са на по-малко от 1571 км от този град, а всички точки на южното полукълбо са още по-близо.

Следователно, според нашето предположение, всички останали четири града са в северното полукълбо.

Нека B е град в северното полукълбо. Той също така определя полукълбо, върху което никой друг град не може да лежи.

Ако град B се намира директно на Северния полюс, не може да има повече град в северното полукълбо, така че само двата града A и B ще бъдат на Kappa, което не може да бъде.

Но независимо къде е B в северното полукълбо, полукълбото с център B винаги съдържа северния полюс. И тъй като B не може да бъде Северният полюс, това полукълбо също има обща част с южното полукълбо. Нека X и Y са двете точки на пресичане на ръбовете на полукълбото. Тъй като ръбовете са кръгове с максимален размер (така наречените големи кръгове) на повърхността на сферата, двете точки са точно една срещу друга, т.е. H. те разделят всеки от двата кръга на две равни половини.

Тъй като не знаем на каква степен северна ширина се намира град B, не знаем и докъде се простира неговото полукълбо над Северния полюс, но във всеки случай никой друг град не може да е в половината от северното полукълбо, който пресича половината екватор на X до Y и е ограничен от Северния полюс.

За последен път намаляваме наполовина другата половина на северното полукълбо: Нека M е средната точка между X и Y на екватора (тази, която не е на полукълбото около B). Тогава окръжността разделя десния северен полюс наполовина през южния полюс, северния полюс и М на две равни части (извити триъгълници), върху които точките на ъглите X, M и N или Y, M и N са колкото е възможно по-далеч от една четвърт от обиколката на сферата. С други думи: Всякакви две точки на триъгълник са на разстояние по-малко от 1571 км.

Това обаче означава, че във всеки от триъгълниците може да има най-много един град. Но тогава на Капа има само четири града.


Но тъй като на Капа има пет града, получаваме противоречие. Така че предположението, че всички градове са на разстояние поне 1571 км, трябва да е погрешно. В резултат на това има (поне) два града на Капа, които са на не повече от 1 571 км един от друг и между тях ние (или Капаяните) можем да изградим железопътна линия през първата година.

За печат като pdf файл или като ps файл