Метричен тензор
Метричен тензор, или метрика, Представлява симетрично тензорно поле от ранг (0,2) върху гладък колектор, с помощта на което скаларното произведение на вектори в допирателното пространство, дължини на криви, ъгли между кривите и др.
В специалния случай на повърхност метриката се нарича още първата квадратична форма.
В общата теория на относителността метриката се разглежда като основно физическо поле (гравитационно) на четиримерния колектор на физическото пространство-време. Той се използва широко в други конструкции на теоретичната физика, по-специално в биметричните теории на гравитацията в пространство-време, две метрики се разглеждат едновременно.
- (Освен това, във формулите на тази статия с повтарящи се индекси, сумирането е завършено Правилото на Айнщайн, т.е. за всеки повтарящ се индекс).
Съдържание
Координатно представяне
И за всякакви векторни полета скаларният продукт се изчислява по формулата
Понякога метричният тензор се задава по двоен начин, като се използва контравариантният тензор g i j> .
В случай на недегенерирани показатели
където δ k i ^> Символът на Kronecker ли е. В този случай и двата метода са еквивалентни и двете метрични представления са полезни.
За изродени метрики понякога е по-удобно да се използва противовариантната метрика. Например подриманова метрика може да бъде дефинирана чрез тензора g i j>, но тензорът g i j> не е дефиниран за него.
Представяне в полето на рамката
Понякога е удобно да зададете метричния тензор през избраното (не е задължително координата, както е описано по-горе) поле на референтни точки, тоест чрез избора на референтното поле < e i ( p ) >(p) \ >> и матрици g i k (p) = ie i (p), e k (p)⟩ (p) = \ langle e_(p), e_ (p) \ rangle> .
Например, римановият метричен тензор може да бъде даден от ортонормално поле на рамката [1] .
Индуцирана метрика
По-общо
g (X, Y) = h (d r (X), d r (Y))
Обикновено под метричен тензор, без специални инструкции по математика, имаме предвид риманов метричен тензор; но ако, разглеждайки недегенериран метричен тензор, някой иска да подчертае, че говорим за риманов, а не за псевдориманов метричен тензор, тогава те говорят за него като за правилния риманов метричен тензор. Във физиката метричният тензор обикновено се разбира като лоренцианска метрика на пространство-времето.
Понякога псевдориманов тензор и псевдориманов многообразие се разбират като това, което е дефинирано по-горе като правилна псевдориманова метрика и многообразие, а за първите само терминът "не-дегенерирана метрика" и съответно "многообразие недегенерирана метрика ".
- Извиква се вектор с нулева дължина в пространство с псевдориманова метрика изотропен (също нула или подобна на светлина) и посочва определена изотропна посока относно разнообразието; например светлината в пространствено-времевия континуум се движи по изотропни посоки.
- Колектор с отличителен риманов метричен тензор се нарича риманов колектор.
- Колектор с отличителен псевдориманов метричен тензор се нарича псевдориманов колектор.
- Извикват се метрики на колектор геодезически еквивалентен, ако геодезическите им (разглеждани като непараметризирани криви) съвпадат.