Математика - порталът за книги и идиоми; es
- Дата на публикуване • 11 ноември 2010 г.
- Очаквано време за четене • 30 минути
В името на безкрайността. Религиозна мистика и математическо творчество
Връзката между математиката и мистиката сред руските математици и тяхното влияние върху появата на описателна теория на множествата.
В името на безкрайността е френското издание Naming Infinity, произведение, публикувано първоначално на английски от Loren Graham и Jean-Michel Kantor и публикувано през 2009 г. от Belknap presses в Харвардския университет. В тази завладяваща малка книга авторите проследяват малко известна страница в историята на математиката, появата на описателна теория на множествата. Френската версия на произведението, увеличена с глава, също е придружена от красив предговор, подписан от Лоран Лафорг (професор в IHES и носител на медала Fields).
В днешно време описателната теория на множествата е специализирана област на изследване, която се преподава само на много напреднали нива на математически курсове в университета и която изисква студентът да има солиден опит в теоретичните множества и класическата математика. Докато използват своите знания като историци на науката и математици, целта на авторите в тази работа не е да влязат в техническите аспекти на тази теория, а по-скоро да опишат нейния генезис, както и нейната съдба. Математиците, които са били нейните основни архитекти през първата половина на ХХ век. Както ясно показва заглавието на работата, описателната теория на множествата, получена в резултат на анализа на функциите и теорията на множествата, се ражда от усърдно и понякога измъчено отражение сред математиците върху самата природа. На математическата безкрайност, от втората половина от деветнадесети век. Разследването на Греъм и Кантор, което ги доведе от Париж до Москва, ги кара да поставят под въпрос психологията на математическото творение, и по-специално, в случая с Руската математическа школа, върху предполагаемите му религиозни източници.
Първоначално така наречената дескриптивна теория на множествата се ражда от работата на трима гениални френски математици Емил Борел (1871-1956), Рене Байре (1874-1932) и Анри Лебег (1875-1941), и тримата специалисти по теория на функциите. Както Греъм и Кантор обясняват много добре в работата си, това "френско трио" на математиците, всички от Ecole Normale Supérieure, работи в особено решаващ момент от историята на математиката, когато цяло поколение математици в цяла Европа се чудят за основите това трябва да се даде на някои понятия, считани досега за очевидни или примитивни в математиката.
Една от най-влиятелните фигури в края на XIX век от тази гледна точка е Георг Кантор (1845-1918), основател, заедно с Ричард Дедекинд (1831-1916), на теорията на множествата. Теорията на множествата започва в усилията, полагани едновременно от тези двама математици за изясняване на значението на концепциите за непрекъснатост (в Дедекинд) и безкрайност (в Кантор), едновременно с самото понятие за число. Идеята за безкрайност, произтичаща от работата на Кантор и Дедекинд, ги накара през 1870-те и 1880-те да въведат понятието за множество, което всеки от тях определи неофициално като определение на Дедекинд, „всяка колекция, която може да бъде обединена в цяло от закон ". Казва се, че даден набор е безкраен, ако има съответствие, което позволява да се асоциира с всеки от елементите на множеството един елемент в подходяща част от това множество и обратно. Например, множеството от цели числа е безкрайно в този смисъл, тъй като има едно-към-едно съответствие на този набор с по-ограничения набор от четни числа (с 1 свързваме 2, с 2 свързваме 4 и т.н.).
Работата на Кантор има значително отзвук от 1880-те и по-специално с младия Емил Борел през следващото десетилетие, чрез учението на Камил Джордан, която въвежда теориите на Кантор във Франция. Аналитик по обучение, Борел се кара да се разпитва в работата си върху самото определение, което трябва да се даде на общото понятие за функция в математиката. Един от въпросите, които ръководи Borel, е въпросът да се знае кои условия дават възможност да се гарантира, че дадена функция е добре дефинирана. Рамката на Кантор наистина предполага, че вече можем да се интересуваме от някои произволни набори от функции като самостоятелни математически обекти, като например множеството непрекъснати функции на реална променлива, множеството прекъснати функции на две реални променливи и т.н. По-нататък подходът на Кантор предполага, че всяка функция може да се разглежда като набор, който свързва с елементите на първи набор (домейнът на функцията) елементите на втори набор (неговия кодомен), правейки концепцията за функцията концепция като абстрактна, в много отношения, като концепция за цялото, но по този начин податливи на същите трудности и апории.