Математически изображения
Статия, публикувана на 11 май
В края на март 2020 г. и докато част от човечеството е ограничена, Норвежката академия на науките присъди наградата Авел за 2020 г. едновременно на Хилел Фюрстенберг и Григори Маргулис за иновативното им използване на вероятностни и динамични методи в геометрията и теорията на числата.
Няма такова нещо като Нобелова награда по математика. Полевият медал награждава само математици [1] и математици под 40-годишна възраст и следователно няма същата роля като Нобелова награда, която често дава пълна кариера. В този смисъл наградата Абел е еквивалент на Нобелова награда по математика по отношение на нейния престиж, напредналия характер на кариерата на получателите и размера на наградата.
Името на наградата идва от Нилс Абел, норвежки математик. Дължим му преди всичко първия отговор на въпроса за разтворимостта от радикали на полиномни уравнения от степен $ 5 $. Той беше първият, който показа, че е невъзможно за определени полиноми и тогава Еваристе Галуа характеризира точно полиномите, за които е възможно. Животът му беше кратък, тъй като той почина на 26-годишна възраст и именно за двеста годишнината от рождението му беше създадена наградата Абел през 2002 г. Първата награда бе присъдена на Жан-Пиер Сер. Наградата е снабдена със 7,5 милиона норвежки крони или приблизително 600 000 евро, много повече от медала на Fields.
Тази година наградата беше обявена в началото на ограничаването и през уебкамерите говорителите говориха. Самата церемония се отлага, когато избухването на коронавирус приключи. Можем да прегледаме съобщението онлайн, както и интервютата с получателите.
Двамата лауреати, въпреки че работата им е в същия дух, никога не са си сътрудничили директно. Те дори нямат общи сътрудници, въпреки че някои от техните съавтори са си сътрудничили сами (разстоянието между Ердес между Фюрстенберг и Маргулис е 3 долара).
По-нататък ние предизвикваме най-известните творби на двамата получатели, опитвайки се да дадем някаква представа по темата. Не се предвижда изчерпателност дори сред най-забележителните им приноси. Ако началото е червена писта, останалото явно е извън пистата.
Х. Фюрстенберг
Хилел Фюрстенберг е роден в Германия през 1935 г., имигрира в САЩ в началото на Втората световна война, учи там и започва кариерата си там. През 1965 г. се премества в Израел и става професор в Еврейския университет в Йерусалим до пенсионирането си.
Първият акцент в кариерата на Хилел Фюрстенберг е поредното доказателство за безкрайността на простите числа. Разбира се, от древни времена е известно, че има безкраен брой прости числа и класическо доказателство се намира в Елементи Евклидово: Нека $ n $ е най-голямото известно просто число, тогава цялото число $ n! +1 = 1 \ по 2 \ по 3 \ пъти \ dotsb \ по n + 1 $ се дели на просто число, което е просто с всички цели числа от $ 1 $ до $ n $ и следователно се различават от всички известни прости числа. По този начин има безкрайност на прости числа.
Доказателството на Фюрстенберг е напълно различно по форма, тъй като включва топология, която е клонът на математиката, който изучава свойствата на геометричните обекти, запазени чрез непрекъсната деформация, без разкъсване или повторно залепване. Априори връзката с простите числа изглежда запазена и е много изненадваща. Но това е отличителен белег на работата на Фюрстенберг: използване на една област на математиката за отговор на проблеми в друга област.
Доказателството изисква да се знае какво е отворено и затворено и ние ще оставим заинтересования читател да разгърне блока по-долу, за да прочете доказателството, което се побира в няколко реда. Оригиналната публикация обхваща само дванадесет реда в средата на страница вАмерикански математически месечник през 1955г.
Доказателство на Фюрстенберг за безкрайността на прости числа
Нека предоставим набора от относителни цели числа $ \ mathbb $ с топология, където отворите са обединения на би-безкрайни аритметични прогресии, тоест множествата от формата $ A_ = a \ mathbb + b $, с други думи аритметичната прогресия на причината $ a $, съдържаща $ b $, или класа на $ b $ по модул $ a $. Това е упражнение за проверка, че това наистина е топология. Например, пресичането на $ A_ $ и $ A_ $, ако не е празно, е аритметична прогресия, чиято причина е най-рядкото кратно между $ a $ и $ a ’$.
Забележете, че всяка аритметична прогресия $ A_ $ също е затворена, тъй като нейното допълнение е обединението на другите аритметични прогресии на разум $ a $.
По дефиниция всяко непразно отваряне е безкрайно, тъй като съдържа аритметична прогресия. Всяко цяло число, различно от $ \ pm1 $, се дели на просто число, което се записва
Където $ \ mathcal
$ е множеството от прости числа. Ако $ \ mathcal
$ е краен, тогава дясната страна е затворена като краен съюз от затворени и тогава $ \ $ е едновременно и отворена. Какво противоречи на горното.
За повече подробности и други доказателства вижте тази статия.
Друго известно ново доказателство, дадено от Фюрстенберг, е доказателство за теоремата на Шемереди, което гласи, че за всеки набор $ E $ положителни цели числа, ако плътността на $ E $ в множеството положителни цели числа е строго положителна, тогава $ E $ съдържа крайни аритметични прогресии (т.е. последователности $ b, b + a, b + 2a, \ dots, b + na $, където $ b $ е първият член, $ a $ причината и $ n $ дължина) толкова дълго, колкото желаете. Плътността на множество $ E $ в множеството положителни цели числа като граница (ако съществува) на фактора
\ [\ frac \ rvert>, \]
тоест границата на дела на числата в $ E $ сред първите $ n $ цели числа.
За това доказателство не е топологията на оригиналния инструмент, а вероятностите! Ключовият момент е теоремата за многократното повторение, което е продължение на теоремата за повторяемостта на Поанкаре, класически инструмент на ергодичната теория, изучаването на динамични системи в присъствието на инвариантна мярка като еволюцията на газ при фиксиран обем. Това ново доказателство беше интересно не само със своята оригиналност. Теоремата за множествената индукция отвори нов клон на математиката, свързващ ергодичната теория и комбинаторната теория на числата. Забележителна илюстрация на това отваряне е теоремата на Грийн и Дао, демонстрирана през 2004 г. Тази теорема гласи, че множеството от прости числа, макар и с нулева плътност, има аритметични последователности с произволно голяма дължина.