Mat_an - Страница 4
R се определя от равенството a = p
използвайки дефиницията на нашия клон (или просто използвайки свойствата на функцията Жуковски),
получаваме, че нашата област е картографирана в горната полу равнина с изхвърлена
и след това се показва
). След това (вижте задача № 2) получаваме горната полу равнина.
Ÿ5. Прилагане на принципа на симетрия на Риман-Шварц
1. Покажете на горната полуплоскост външната страна на кръста, състояща се от сегмента [¡a; b] на реалната ос и сегмента [¡ci; ci] на въображаемата ос (a; b ¸ 0; c ¸ 0; a 2 + b 2 + c 2 6 = 0) .
Нека направим спомагателен разрез по реалната ос, състоящ се от кръгла дъга ° = (b; 1) [(¡1; ¡a), лежаща върху реалната ос. Вземете като площ
D горната полу равнина с изхвърления сегмент [0; ci] по въображаемата ос. Тогава областта D [D ¤ [° е просто желаната област, която трябва да покажем (D ¤
област, симетрична с D около дъга °). Отображението p на областта D в горната полуплоскост (т.е. областта Im z> 0) се дава от равенството w 1 = c 2 + z 2 (вж. Задача N 4
Ÿ3). Нека проследим къде на този дисплей се показва дъгата °. Ако w 0 = z 2, тогава дъгата °
ще премине към интервала от b
на горния бряг на участъка по положителния
, долна страна.
реалната ос и за интервала от
След преместване от c
и извличайки корена, получаваме, че дъгата ° 1 (изображение °) е обединената-
лежи на реалната ос. Според
принцип на симетрия, съществува разширение на отображението w 1 (z) към областта D ¤
че разширената функция определя конформно картографиране на областта D [D ¤ [° на
D [D ¤ [°. В нашия случай областта D [D ¤ [°
1 1 1 p p 1 1 1 е цялата равнина с изхвърления сегмент [¡a 2 + c 2; b 2 + c 2] по реалната ос. Както при Ÿ3, получаваме, че функцията w 2 = (p b 2 + c 2 ¡w 1) = (w 1 + p a 2 + c 2) картографира нашия домейн върху цялата равнина с
разрез по положителната част на реалната ос. Тогава желаното картографиране ще бъде картографирането
w = p w 2 = (p b 2 + c 2 ¡p z 2 + c 2) = (p z 2 + c 2 + p a 2 + c 2)) 1 = 2:
Тук под величината p z 2 + c 2 за точки z 2 D О имаме предвид продължаването на функцията w 1 (z) от D до D 1 съгласно принципа на симетрията (всъщност тя има същата форма).
2. Покажете в горната полуплоскост екстериора на десния клон на хиперболата