Линейна алгебра

Линейна алгебра (за икономисти) 10A103 ЗАДАЧИ ЗА ПРАКТИКА (1.) 2018/2019. пролетен семестър Матрици 1.1. Задача. Нека A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = (1 2 0), D = 1 3 1 1 2 1 () 10/2 0,6 1 2 E =, F = 1 1 1 6 2, G =, H =. 1 2 0,3 0,4 1 2 1 0 0,4 Изчислете следните матрици (ако има такива): (а) AB, BA, CB, BC, DC, CD; (b) BF, F2, GH; (в) EB T, E TA, D T C T; (d) (A + B) C, (A + B T) D, AD + B T D. Разтвор. (а) AB = 2 1, BA = 6 9 1 2 0 DC = 1 2 0, CD = (1); 2 4 0 2 2 0 ((b) BF не е дефиниран, F 2 = 1 2 2 1 1 3, GH = 3 0 6 2 2 10 1 7 0 4 4 (c) EB T =, E 3 3 TA =, D 4 0 4 TCT = (1), 1 (d) (A + B) C не е определено, (A + BT) D =, AD + B 16 TD = 1 2, 3 2 0 4 4, CB = (1 4), BC не е дефиниран, 4 4 8 + 3 6 17 0 1. 16) 3.87298 2.0338; 0,474342 0,34 1 3 1.2. Задача. Изчислете стойността на заместване на полинома f = x 2 + 3x 4 при A = 4 2 6 3 1 2. Решение. Стойност на заместване на полинома f в позиция A: 3 1 12 f (a) = A 2 + 3 A 4 I 3 = 26 12 2. 22 12 3 1 1 1.3. Задача. Нека A =. Дайте всички матрици B, които са взаимозаменяеми с A, 0 1, т.е., за които AB = BA е изпълнено. Решение. Матрицата B може да бъде (точно) заместена от матрицата A, ако има числа a и b реални b, за които B = важи. 0 и 1.4. Задача. В стопанството преходът между безработни и работници се описва със следната матрица (за период от 1 година):. 0,1 0,7

дефиниран продуктът дефиниран

(j) Ако AB = BA е изпълнено за матрици A и B, тогава матриците A и B са квадратни. (k) За всякакви квадратни матрици A и B с еднакъв размер (Вярно) (A + B) (AB) = A 2 B 2. (Невярно) (l) Ако A и B са квадратни матрици със същия размер (A + B) (AB) = A 2 B 2 е изпълнено, тогава A = B. (Невярно) Фигури 1.8-17. В задачите само един от четирите дадени отговора е верен, решете кой. 1.8. Задача. Нека матрица A е реална матрица (2 3). а) Определени са продуктите AA T и A T A. (б) Продуктите AA T и A T A не са дефинирани. (в) Продуктът AA T е дефиниран, но продуктът A T A не е дефиниран. (г) Продуктът AA T не е дефиниран, но продуктът A T A е дефиниран. Решение. а) 1.9. Задача. Нека бъдат дадени матриците A R 2 3, B R 3 3 и C R 2 4. В. а) дефиниран е продуктът ABC. в) дефиниран е продуктът ABE 3 C T. б) дефиниран е продуктът C T AB. г) дефиниран е продуктът BA T C T. 1.10. Задача. Нека бъдат дадени матрици A R 2 3, B R 3 4 и C R 4 2. В. (а) равенството ABC = CAB е изпълнено. в) дефинирана е сумата AB + BC. 1.11. Задача. Ако A R m n (m, n N), B R k l (k, l N) и (a) n = k, тогава A + B съществува. (c) m = n = k = 1, тогава AB (BA) T съществува. Решение. (c) (b) Уравнение (AB) C = A (BC) е валидно. (г) продуктът BCAB не е дефиниран. (b) m = n = k = 1, тогава AB = BA. (d) m = n = k = 1, тогава (B + A) T = AB. 3