ЛЕКЦИЯ N3

Векторно пространство. Линейни операции върху вектори.

Помислете сега за комплекта ДА СЕ и поле произволен характер. Да предположим, че за всички елементи от ДА СЕ операциите на събиране и умножение по числа от R. Ще извикаме елементи от ДА СЕ вектори, независимо от специфичния им характер.

Много ДА СЕ Наречен линейна или векторно пространство над полето ,

ако за всички вектори от ДА СЕ операциите на събиране и умножение по числа от P, и важат следните аксиоми:

А. Всяка двойка вектори х, у реагира вектор x + y , наречена сумата х и у , освен това:

- допълнението е комутативно: x + y = y + x;

- допълнението е асоциативно: x + (y + z) = (x + y) + z

- има само един нулев вектор 0 такъв, че x + 0 = x за всеки вектор х ;

- за всеки вектор х има само един противоположен вектор - х, такъв, че x + (- x) = 0.

Б. Всяка двойка a, х , където a е число и х - вектор, векторът съответства а х , наречен продукт на a и х , освен това:

- умножението по число е асоциативно: a (b х ) = (ab) х

В. Операциите на събиране и умножение са свързани помежду си чрез следните връзки:

- умножението по число е разпределително по отношение на добавянето на вектори: a ( x + y ) = a х + а y;

- умножението по вектор е разпределително по отношение на добавянето на числа: (a + b) х = а х + б х .

Във всяко линейно пространство за всеки вектор х важи равенството 0 × х =0, където от дясната страна 0 означава нулев вектор, а вляво - числото нула.

Във всяко линейно пространство за всеки вектор х връзката е вярна

Във всяко линейно пространство равенството a × 0=0 за всеки а .

От гледна точка на операциите на умножение, събиране и изваждане, всички правила за еквивалентни преобразувания на алгебрични изрази във всяко линейно пространство формално се прилагат. В бъдеще няма да посочваме конкретно тези правила.

Много L линейно пространство ДА СЕ му се обади линейно подпространство, ако по време на същите операции като в космоса ДА СЕ, то само по себе си е линейно пространство.

Множество, състоящо се от един нулев вектор, е линейно подпространство. Това подпространство се нарича нула.

Най-малкото подпространство е нула, най-голямо е самото оригинално линейно пространство. Тези две пространства се наричат ​​тривиални, останалите са нетривиални.

Всяко линейно пространство в описанието му съдържа две съществено различни части. Първо, линейно пространство има колекция от специфични обекти, наречена вектори. Второ, операциите на събиране и умножение по число са дефинирани върху тези специфични обекти. Следователно човек може да се интересува или от естеството на векторите и техните свойства, или от свойствата на тези операции, независимо от естеството на елементите.

Във всички практически интересни случаи конструирането и изучаването на линейни пространства се извършва на два етапа: първо, като се вземе предвид естеството на векторите, се определят операциите на събиране и умножение по число и след това въз основа на свойствата на тези операции се изучават самите пространства. Следователно, две пространства, които имат еднаква структура по отношение на операциите на събиране и умножение по число, могат да се считат, че имат еднакви свойства.

Помислете за множеството от всички линейни пространства, дефинирани върху едно и също поле R. Естествено е да попитаме как тези пространства си приличат и по какво се различават помежду си.

Векторите от всеки клас могат да бъдат уникално представени във формата денивелация (т.е. насочени сегменти) в геометрично пространство.

В повечето приложения векторите се показват като точкови функции в геометрично пространство.

Векторите са насочени сегменти в пространството, които имат определена дължина. Вектор е отсечка с определена дължина, една от граничните точки на която се приема като начало, а другата като край.

Дължина на вектора (модул) - разстояние между неговите ограничителни точки.

Векторите включват нулев вектор, чието начало и край съвпадат.

Определение: Векторите се наричат ​​колинеарни, ако са разположени на една и съща

права или на успоредни линии, т.е. ако има права, на която те са успоредни.

Определение: Векторите се наричат ​​копланарни, ако лежат в едно и също

равнина или ако има равнина, на която те са успоредни. Ако копланарните вектори имат общ произход, те лежат в една и съща равнина.

Определение: Векторите се наричат ​​равни, ако имат равни модули,

колинеарна и насочена в една посока. (Ако векторите са насочени в противоположни посоки с еднакви модули и колинеарност, тогава те са противоположни).

Векторът може да бъде прехвърлен успоредно на себе си, поставяйки началото му във всеки

Нека бъдат дадени два вектора и и б .

един. Вземете произволна точка 0 и конструирайте вектор OA = a , след това от същата точка отлагаме вектора ОВ = b . Изграждаме върху тези вектори, както и отстрани, успоредник OA C B . Вектор операционна система, което е диагоналът на успоредника, изтеглен от върха 0, и ще бъде сумата от вектори a + b .

2. От произволна точка 0 отложи вектор OA = a , след това от точка А отлагаме вектора AB = b . Векторът, свързващ началото на първия член с края на втория, ще бъде сумата от тези вектори ОВ = a + b .

Свойства за добавяне на вектор

Аз. Добавянето на вектор е комутативно (свойство на изместване):

II. Добавянето на вектор е асоциативно (свойство на комбинацията):

Сумата от произволен краен брой вектори може да бъде конструирана съгласно следното правило: от произволна точка 0 се определя вектор, равен на първото слагане на вектора. Началото на втория е прикрепен към края на първия вектор, началото на третия е прикрепен към края на втория и т.н. Сумата от тези вектори ще бъде вектор, свързващ началото на първия вектор до края на последния.

Различни вектори Е третият вектор c = a - b , чиято сума с вектора да бъде изваден б дава а .

Правилото за конструиране на различния вектор: отлагане на вектори OA = a и OB = b от общата точка 0. Векторът, свързващ краищата на редуцирания вектор а и векторът, който трябва да бъде изваден б, и насочена от изваденото към намаленото и ще бъде разликата на векторите а и б .

Ако на вектори а и б , отложено от обща точка, изградете успоредник, след това вектора OC (един паралелограм диагонал) е равна на сумата a + b , и вектор BA (другият диагонал) е равна на разликата а - б .

---