Кръстосан продукт, Аналитична геометрия
Кръстосаният продукт е представен за двама вектори от V3. Тя се основава на следната концепция.
Определение 3.1. Извиква се подредена тройка от некомпланарни вектори a, b, c нали, ако посоката на вектора a е подравнена с посоката на вектора b посредством най-краткото въртене на вектора a в равнината на тези вектори, която от страната на вектора c е обратно на часовниковата стрелка (фиг. 3.1). В противен случай (завъртане по посока на часовниковата стрелка) се извиква тази тройка наляво.
Тъй като се подрежда триплетът на не-копланарни вектори основа във V3 тогава също говорим за дясна и лява база. Всяка основа е или дясна, или лява, т.е. всички бази във V3 са разделени на два класа: клас на десни бази и клас на леви бази. Извиква се класът, към който принадлежи фиксираната основа ориентация.
Определение 3.2. Векторен продукт на неколинеарни вектори a и b се нарича вектор c, който отговаря на следните три условия:
1) вектор с ортогонален вектори a и b;
2) дължина на вектора с е равно на | с | = | а || b | sinφ, където φ - ъгъл между векторите a и b;
3) подредената тройка от вектори a, b, c е вярна (фиг. 3.2).
Ако вектори a и b колинеарна, тогава | a || b | sinφ = 0. Следователно, ние допълваме определение 3.2, като приемаме, в съответствие с условие 2, че векторното произведение на два колинеарни вектора е нулев вектор.
Векторното произведение на вектори a и b ще бъде означено с a × b, въпреки че обозначението [a, b].
Векторният продукт се използва, например, в механиката. И така, моментът на сила F, приложена към точка M, спрямо някаква точка O е равен на OM × F (фиг. 3.3). Помислете за свойствата на векторния продукт.
1 °. За да бъдат два вектора колинеарни, е необходимо и достатъчно тяхното кръстосано произведение да е равно на нулевия вектор.
◄ Необходимост. Ако векторите са колинеарни, тогава тяхното кръстосано произведение е равно на нулев вектор по дефиниция. Нека докажем достатъчността. Ако a × b = 0, тогава | a × b | = 0, т.е. | a || b | sinφ = 0, където φ е ъгълът между векторите a и b. Но тогава има поне едно от трите равенства: | a | = 0, | b | = 0 или sinφ = 0. Всяко от тези равенства предполага колинеарност на вектори a и b. ►