Концепция за обем на тялото
За прости тела, т.е. ако може да бъде разделен на краен брой триъгълни пирамиди, това е положителна величина, която има следните свойства:
- Равните тела имат еднакви обеми
- Ако тялото е разделено на части, които са прости тела, тогава обемът на това тяло е равен на сумата от обемите на неговите части.
- Обемът на куб, чийто ръб е равен на една дължина, е равен на един
65. Обем на правоъгълен паралелепипед. Произволен обем на призмата (изход).
Обемът на правоъгълен паралелепипед с линейни размери a, b, c се изчислява по формулата V = abc
Дадена е произволна призма. Тя се основава на многоъгълник. След като нарисуваме диагонали в него, изходящи, от един връх, разделяме многоъгълника на триъгълници (фиг. 39). Прорезите, изчертани през тези диагонали и съответните странични ръбове на призмата, я разделят на определен брой n триъгълни призми. За призма с номер k обемът е
където Sk е площта на нейната основа, H е височината на първоначалната призма. Като добавим обема на триъгълните призми, получаваме обема на оригиналната призма:
66. Обемът на пирамидата (заключение). Пресечен обем на пирамидата.
Нека SABC е триъгълна пирамида с връх S и основа ABC. Нека добавим тази пирамида към триъгълна призма със същата основа и височина. Тази призма е съставена от три пирамиди: тази пирамида SABC и още две триъгълни пирамиди SCC1B1 и SCBB1.
Втората и третата пирамиди имат равни основи - ΔCC1B1 и ΔB1BC и общата височина, изтеглена отгоре S. Следователно те имат еднакви обеми.
Първата и третата пирамиди също имат равни основи - ΔSAB и ΔBB1S и еднакви височини, изтеглени отгоре C. Следователно те също имат еднакви обеми.
Това означава, че и трите пирамиди имат еднакъв обем. Тъй като сумата от обемите е равна на обема на призмата, обемите на пирамидите са равни .
Обемът на всяка триъгълна пирамида е равен на една трета от произведението на основната площ на височината:
Има пресечена пирамида с основни области S1 и S2 (S1> S2) и височина h.
Тогава обемът на пресечената пирамида е: