Концепция за фазово пространство

Страници за работа

Съдържанието на произведението

Лекция 11.Концепция за фазово пространство. Метод на фазовата равнина.

Фазовото пространство или пространството на състоянието на системата е н-размерно пространство, координатите в което са фазови променливи (променливи на състоянието) на системата. Размерът на фазовото пространство съответства на измерението на системата, тоест реда на системата от диференциални уравнения в нормална форма (форма на Коши), описваща дадената система.

В общия случай за нелинейна система такъв модел е:

i =1,2. н, (11.1)

където ji - нелинейни функции; xi - фазови променливи на системата; ж, е- настройка и смущаващи влияния (евентуално векторни функции).

Ако използвате вектор на фазови променливи, можете да напишете този модел във векторна форма:

. (11.2)

Аргумент т в уравнения (11.1) - (11.2) присъства само за нестационарни системи.

IN н-размерно фазово пространство (фиг. 51) до началния момент от времето за процеса в системата т0 съответства на точка, представляваща началното състояние на системата х 0 = (хдесет,х20, ...,xn0). Към всеки следващ момент във времето t> t0 ще съответства на друга точка, чиито координати са текущите стойности на фазовите променливи. Нарича се представителна точка. Решението на уравнения (11.1) - (11.2) xi(т), i =1,2. н, има някаква непрекъсната крива, която се нарича фазова траектория на процеса в системата. Стрелката на фазовата траектория показва посоката на нарастване на времето.

Освен това отбелязваме, че стойностите на дясните страни на уравнения (11.1) дават проекциите на вектора на скоростта на движението на представящата точка по фазовата траектория за всеки разглеждан момент от време.

Като правило не е възможно да се използва картографиране на процес в система в многомерно фазово пространство за решаване на практически проблеми. Следователно най-честото използване на разглеждания апарат е методът на фазовата равнина, когато се вземат предвид само две променливи от състоянието на системата и фазовите траектории са плоски криви (фиг. 52). Очевидно методът на фазовата равнина позволява да се получи пълна картина на процеса само за системи от втори ред. За такива системи се използва главно.

В повечето случаи, когато се използва методът на фазовата равнина, входните сигнали ж и е вземете равно на нула и разгледайте процесите, причинени от първоначалните отклонения на фазовите променливи от стационарните стойности. За стационарна система от втори ред, системата от уравнения (11.1) ще приеме формата:

,

. (11.3)

Полученият набор от фазови траектории за различни начални условия се нарича фазов портрет на системата.

Имайте предвид, че когато се използва математически модел на системата, физическото значение на фазовите променливи не се взема предвид. Следователно, дори за система от втори ред, различни двойки (хедин, х2) със съответни промени на променливи в уравнения (11.3). Изборът на фазови променливи се извършва в зависимост от проблема, който трябва да бъде решен, за удобство на неговото решение.

---