Класически теореми на теорията на измеримите функции
Първо доказваме някакво полезно спомагателно твърдение.
Първо, нека докажем следното твърдение:
[math] f_n \ Rightarrow f [/ math] to [math] E [/ math]. [math] \ mathcal \ delta \ gt 0: [/ math]
[математика] E (| f_n - f_m | \ geq \ delta) \ подмножество E (| f_n - f | \ geq \ frac)
E (| f_m - f | \ geq \ frac); [/ математика]
[math] \ mu E (| f_n - f_m | \ geq \ delta) \ leq \ mu E (| f_n - f | \ geq \ frac) (\ rightarrow 0) + E (| f_m - f | \ geq \ frac ) (\ rightarrow 0) [/ math]
Тоест конвергенцията в мярка предполага конвергенция в мярка сама по себе си.
Вземете [math] \ varepsilon_k \ gt 0, \ sum \ limit _ ^ \ infty \ varepsilon_k \ lt + \ infty [/ math]. Например [math] \ varepsilon_k = \ frac [/ math] .
По условието на лемата за [math] \ varepsilon_1 \ \ съществува n_1 \ forall n, m \ gt n_1: \ mu E (| f_n - f_m | \ geq \ varepsilon_1) \ lt \ varepsilon_1 [/ math]
Помислете за [math] m = n_1 [/ math], [math] \ forall n \ geq m [/ math]:
[math] \ varepsilon_2: \ съществува n_2 \ gt n_1 \ \ forall n \ gt n_2: \ mu E (| f_n - f_ | \ geq \ varepsilon_2) \ lt \ varepsilon_2 [/ math]
Пъти [math] n_2 \ gt n_1 [/ math], [math] \ mu E (| f_ - f_ | \ geq \ varepsilon_1) \ lt \ varepsilon_1 [/ math] (по избор [math] n_1 [/ math])
[math] \ varepsilon_3: \ съществува n_3 \ gt n_2 \ \ forall n \ gt n_3: \ mu E (| f_n - f_ | \ geq \ varepsilon_3) \ lt \ varepsilon_3 [/ math]
Пъти [math] n_3 \ gt n_2 [/ math], [math] \ mu E (| f_ - f_ | \ geq \ varepsilon_2) \ lt \ varepsilon_2 [/ math]
Продължете чрез индукция [math] n_1 \ lt n_2 \ lt n_3 \ lt \ cdots [/ math]:
[math] \ mu E (| f_> - f_ | \ geq \ varepsilon_k) \ lt \ varepsilon_k [/ math]
[math] B_k = \ bigcup \ limit _ ^ \ infty E (| f_> - f_ | \ geq \ varepsilon_j) [/ math]
[math] \ mu B_k \ leq \ sum \ limit _ ^ \ infty \ mu E (| f_> - f_ | \ geq \ varepsilon_j) \ lt \ sum \ limit _ ^ \ infty \ varepsilon_j \ rightarrow 0 [/ math] като остатък сближаваща положителна поредица [math] \ varepsilon_k [/ math] .