Изоморфизъм на линейните пространства, аналитична геометрия
Определение 4.3. Две линейни пространства L и L 'обаждане изоморфен, ако съществува линейно биективно картиране A: L → L '. Освен това се извиква самото картографиране A изоморфизъм на линейни пространства L и L '.
Както следва от това определение, изоморфизмът е линеен оператор нула дефект и максимум ранг. Пример за изоморфизъм на линейно пространство в себе си е оператор за самоличност.
Теорема 4.2. Две крайномерни линейни пространства са изоморфни тогава и само ако имат еднакви измерение.
◄ Нека линейните пространства L и L 'имат еднакви размери n. Ще докажем, че тези линейни пространства са изоморфни чрез конструиране на отображение A: L → L ', което е изоморфизъм. За това избираме произволно бази b = (b1. bn) в линейното пространство L и e = (e1. en) в линейното пространство L '. Всякакви вектор x ∈ L може да бъде разложен в основата b, т.е. представен като x = bx, където x е колоната с координати на този вектор в основата b. Към вектор x ∈ L свързваме вектор ex ∈ L ', който в основата e на линейното пространство L' има същите координати като вектора x в основата b. Дефинираното по този начин преобразуване A: L → L 'е линеен оператор. Всъщност, ако вземем произволни вектори x, y ∈ L със колони с координати x, y, тогава
A (x + y) = e (x + y) = ex + ey = Ax + Ay,
тъй като в добавяне на вектори техните координати се добавят. По същия начин, за умножете вектор x с колона с координати x произволно номер λ получаваме
A (λx) = е (λx) = λ (еx) = λ (Ax),
където отново се използват правилата за умножаване на вектор по число в координати.
Линеен оператор A е инжективен, тъй като равенството Ax = Ay означава, че ex = ey или x = y поради уникалността на разширяването на вектора в основата. Следователно x = y.
Линеен оператор A е surjective, тъй като всеки вектор y ∈ L 'с координати y в основата e е изображението на вектора x = bу със същите координати y като y, но спрямо "неговата" основа b. Линейното, инжективно и сюръективно картографиране, по определение 4.3, е изоморфизъм. Следователно линейните пространства L и L 'са изоморфни, а изоморфизмът е линеен оператор A.
Да предположим сега, че линейните пространства L и L 'са изоморфни и нека отображението A: L → L' е съответният изоморфизъм. IN n-мерно линейно пространство L избираме някаква основа b = (b1. Bn) и доказваме това векторна система е = (Ab1. Аbn), състоящ се от изображенията на базисни вектори, е основа в L '.