Измерете подграф
В този раздел ще дадем геометричното значение на интеграла на Лебег.
Ако [math] f (x_1 \ ldots x_n) = c \ ge 0 [/ math] на [math] E [/ math], тогава подпартията се нарича цилиндър в [math] \ mathbb R ^ [/ math] .
Доказателството продължава от просто към сложно, прилага се критерият за [math] \ mu ^ * [/ math] -измеримост.
1) Нека [math] E [/ math] е паралелепипед (клетка), тогава [math] G [/ math] също е клетка, формулата е изпълнена.
2) Нека [math] E [/ math] е отворен набор. Може да се запише под формата на преброимо обединение на несъединени клетки:
[math] E = \ bigcup \ limit_n \ Delta_n [/ math] .
Нека [math] G_n = \ Delta_n \ times [0, c] [/ math];
[math] G = E \ times [0, c] = \ bigcup \ limit_n G_n [/ math] - също несъединен съюз.
[math] G_n [/ math] - измерим, следователно, [math] G [/ math] - измерим.
За адитивност на сигма на мярката, [math] \ lambda_ G = \ sum \ limit_m \ lambda_ G_m = \ sum \ limit_m c \ lambda_n \ Delta_m = c \ sum \ limit_m \ lambda_n \ Delta_m = c \ lambda_n E [/ math] .
3) [math] E [/ math] е ограничен затворен набор.
Вземете малко отворен паралелепипед [math] \ Delta [/ math], така че [math] E \ subset \ Delta [/ math] .
[math] \ overline E = \ Delta \ setminus E [/ math] - отворен - може да се приложи елемент 2: [math] \ lambda_ \ overline G = c \ lambda_n \ overline E [/ math] .
[math] \ lambda_ (\ Delta \ times [0, c]) = c \ lambda_n \ Delta [/ math]
[math] E = \ Delta \ setminus \ overline E, \ lambda_ G = \ lambda_ (\ Delta \ times [0, c]) - \ lambda _ (\ overline G) = c (\ lambda_n \ Delta - \ lambda_n \ надграждане E) = c \ lambda_n E [/ math] .
4) [math] E [/ math] - ограничен и измерим.
За произволен [math] \ varepsilon \ gt 0 [/ math] изберете [math] F_ \ varepsilon [/ math] - затворен и [math] G_ \ varepsilon [/ math] - отворен:
[math] F_ \ varepsilon \ подмножество E \ подмножество G_ \ varepsilon, \ lambda_n G_ \ varepsilon - \ lambda_n F_ \ varepsilon \ lt \ varepsilon [/ math] .
[math] F_ \ varepsilon \ times [0, c] \ subset G \ subset G_ \ varepsilon \ times [0, c] [/ math] .
[math] \ lambda_ (G_ \ varepsilon \ times [0, c]) - \ lambda_ (F_ \ varepsilon \ times [0, c]) = c (\ lambda_n G_ \ varepsilon - \ lambda_n F_ \ varepsilon) \ lt c \ varepsilon [/ math] .
[math] \ varepsilon [/ math] е малък, следователно според критерия [math] \ mu ^ * [/ math] -измеримост [math] G [/ math] е измерима. Чрез монотонността на мярката:
[math] \ lambda_ F_ \ varepsilon \ le \ lambda_ G \ le \ lambda_ G_ \ varepsilon [/ math]
Също така, тъй като [math] \ lambda_n F_ \ varepsilon \ le \ lambda_n E \ le \ lambda_n G_ \ varepsilon [/ math], тогава [math] \ lambda_ F_ \ varepsilon \ le c \ lambda_ E \ le \ lambda_ G_ \ varepsilon [/ математика] .
Оставяйки [math] \ varepsilon [/ math] до нула, в лимита стигаме до [math] \ lambda_ G = c \ lambda_n E [/ math] .
5) [math] E [/ math] е произволен измерим набор.
От крайността на сигма на мярката на Лебег следва, че [math] E = \ bigcup \ limit_ ^ E_m [/ math] е обединението на нарастващи последователности от ограничени измерими двойно неразделими множества.
Цилиндър [math] G = \ bigcup \ limit_ ^ G_m [/ math], където [math] G_m = E_m \ пъти [0, c] [/ math] .