Изчисления в Mathcad 12 Numerical Integration -
Числовата интеграция е може би един от най-важните проблеми в приложната математика. За неговото решение са създадени голямо разнообразие от методи и всеки от тях има свои предимства и недостатъци. Естествено, няма смисъл да се описват всички в рамките на тази книга, така че ще се спрем само на някои от основните идеи, а също така ще опишем един от методите, използвани от системата Mathcad.
Същността на всеки метод за числено интегриране е да се сближи функция на друга крива, площта, под която може да бъде изчислена повече или по-лесно аналитично. Обикновено такива криви са криви на алгебрични полиноми.
Най-ранният исторически и най-известен метод за числено интегриране е методът на средните правоъгълници. Неговата идея следва от самоопределението на интеграла като граница на сумата на произведенията от ширината на интервала на разделяне на стойността на функцията в средата му. Тоест, гладко извит трапец се заменя със стъпаловидна фигура, площта на която се приближава до K на зоната на трапеца, тъй като ширината на интервала на разделяне клони към нула. Илюстрация на метода на средните правоъгълници е показана на фиг. 10.5, а.
Pif func.O, j, 1000] = 0,2654879007
Проверката показва, че за големи n методът на средните правоъгълници може да бъде доста точен. И така, в разглеждания пример 10 (> 0 дяла дадоха резултат, който е валиден до пет цифри. За повечето практически задачи това е повече от достатъчна точност. И да се изчисли функцията 1000 пъти и да се сумират получените стойности е въпрос за модерен компютър, който изисква части от секундата. Следователно би се спрял на метода на средните правоъгълници като напълно приемлив за изчисляване на интеграли през малък интервал. Въпреки това, ако се използва разглежданият алгоритъм, трябва да се изчисли тройният интеграл със същата точност, тогава броят на дяловете ще се увеличи до 10 000 000. функциите вече са въпрос на няколко часа (а преди 20 години това по принцип би било неразрешим проблем.) Дадените цифри илюстрират очевидната необходимост от намиране на друг метод за числено интегриране, който-