Интервю на клуб по математика с професор Къртис Макмълън; EWST Превод
от Ан-Мари Орескович и Дмитрий Сагаловски
През миналия семестър математическият клуб имаше привилегията да интервюира професора от Харвард и скорошния медалист на Fields Къртис Макмълън. По време на едночасовото интервю професор Макмълън обсъди миналото си, изследванията си, опита си в различни университети в страната и медала на Фийлдс. Клубът по математика би искал да благодари на професор Макмълън, че отдели време да го опознае по-добре. За да научите повече за професор Макмълън, вижте уебсайта му на адрес http://math.harvard.edu/
Аз: От колко време сте в Харвард?
М: Година и половина, ако не броите моите ученици.
В: Значи сте завършили тук?
Аз: Където бяхте студент?
М: Отидох в Уилямс Колидж в Масачузетс, след това прекарах една година в Кеймбридж, Англия.
В: От къде си?
М: Труден е въпросът за отговор. Всъщност израснах в Шарлот, Върмонт, но всъщност съм роден в Бъркли, Калифорния. Преместихме се малко, но мисля, че съм от Върмонт.
В: Така че можете да ни кажете нещо за медала?
М: Мисля, че започна през 30-те години на миналия век. Беше създаден в канадско поле и знам, че на Ahlfors и Douglas бяха дадени първите две. Той се дава на всеки четири години на ICM, а през последните години се дава на трима или четирима души. И така, нека видим кой друг го е получил тази година? Концевич, Гауърс и Борхерди. Всъщност всички с изключение на Гауърс прекарваха време в Бъркли, където бях през последните седем години, преди да дойда тук. Така се запознах и с Борхердс, и с Концевич от Бъркли.
Аз: Къде бяхте, когато разбрахте?
М: Аз бях тук. Ще разберете няколко месеца предварително и трябва да се пазят в тайна до днешния ден на церемонията. Всъщност не казах на никого, което беше доста трудно, защото имаше циркулиращи слухове и трябваше да ги отрека.
В: Можете да ни разкажете малко за това, което сте направили с вашето изследване, което ви е дало медала?
М: Нека да започна с посоката на моите изследвания. Първо, написах дисертацията си в Харвард, но не работех с професор от Харвард. Направих компютърна работа с Дейвид Мамфорд върху групи от Kleinian, преди да завърша и се заинтересувах от тази тема. Но накрая написах дисертацията си с Денис Съливан, който по това време беше професор в Нюйоркския университет и IHES във Франция. И така, имах голям късмет, че Мъмфорд ми я представи през последната година от моята дипломирана кариера, когато нямах съветник и тема на дипломната работа. Отидох във Франция и работих със Съливан в IHES в продължение на семестър и се срещнах със Стив Смейл, който ми даде този хубав въпрос за дисертация за решаване на полиномиални уравнения чрез итерация.
Сигурно сте чували за метода на Нютон за решаване на полиноми. Ако приложите метода на Нютон към кубичен полином, той може да не работи. Може да останете под локалния минимум. И ако промените малко първоначалното предположение, то може да не се преобразува в корен. Така че методът на Нютон не е надежден за решаване на полиномиални уравнения. Проблемът, по който работих, беше дали има алгоритъм като метода на Нютон, който включва итерация на една-единствена рационална функция, която може ефективно да решава полиномиални уравнения. Успях да докажа, че отговорът не е степен 4 или по-висока и всъщност намерих нов алгоритъм за решаване на кубчета, който е надежден.
След това отидох в MSRI и отидох в MIT за семестър, след това в Принстън за четири години. С Питър Дойл работихме в Принстън, за да решим уравненията от пета степен и открихме този неочаквано красив алгоритъм за решаване на пети полином. Но това не противоречи на моята теза, защото е кула от повторения; тоест да се повтори рационална функция, да се вземе нещото, към което тя се сближава, и да се свърже това с друго.
Както вероятно знаете, решаването на квинтиката е свързано с групата Galois A 5 и факта, че A 5 е проста група. Това беше използвано от Galois, за да докаже, че не можете да разрешите квинтовото уравнение на радикалите.
Изглежда, че за да можете да решите уравнение с помощта на итеративна рационална карта, трябва да намерите рационална карта, чиято група на симетрия е групата на Галуа на полинома. Сега има само малък набор от групи, които могат да бъдат групи за симетрия в сферата на Риман, а интересните идват от платонови твърди тела. Така че A 5, групата на симетрията на додекаедъра, е най-сложното, което можете да получите. Използвахме тази рационална карта с A 5 симетрия, за да дадем нов алгоритъм за ефективно надеждно решаване на quintic. И по същия начин, тъй като S 6 или A 6 не работят върху сферата на Риман, няма подобен алгоритъм за решаване на уравнения от степен 6 или повече. Това беше първата ми област на изследване: решаване на полиноми и динамиката на рационалните карти. Връзка
Докато в Принстън намерихме ново аналитично доказателство за теорията на Търстън, което предлага хиперболични структури на много 3 разновидности, включително повечето допълващи се възли. Това ново доказателство е свързано със серията Поанкаре, класическа тема в сложния анализ и също така води до решението на предположенията на Кра и Берс. По-късно, в Бъркли, започнах да виждам паралели между теорията за трите разновидности, които влакна над кръга; тази тема е разработена в 2 книги, които се появиха в "Annals of Math Studies" в Принстън. Мисля, че Fields Medal беше признание за тези проекти.
Така че работих върху динамиката на рационалните карти и работех върху три хиперболични разновидности и работих върху повърхности на Риман сам по себе си и също така работих върху топологията на повърхностите и възлите. И нещото, което бих искал да подчертая, е, че за мен всички тези области са наистина една и съща област. Започнете да работите по динамичен проблем много лесно и се озовете да работите по проблем в теорията на възлите или топологията на възлите няколко месеца по-късно, защото те са много взаимосвързани - възли, сложни анализи, полиноми, риманови повърхности, хиперболични 3-многообразия и т.н. Няма име за това поле, но това е полето, в което работя.
В: Така че вероятно сте били четирите най-добри училища в Америка по математика: Принстън, Бъркли, Масачузетски технологичен институт и Харвард. Можете да ги сравнявате и сравнявате по отношение на атмосферата, приятелството, темпото, с което хората работят и т.н., за ученици, които мислят да отидат в аспирантура.?
М: Те наистина са различни. Позволете ми да се откажа от MIT, защото там прекарах само семестър. Принстън е ужасен департамент, но градът е малко задръстен и скучен за млад човек. Той има най-висока плътност на хората в „Кой кой е“ и е високо култивиран. Не се случва нищо неочаквано. Така че не ми се вижда много оживено. Но аз не бях там като аспирант. Принстън е чудесно място за посещение, ако знаете, че няма да бъдете там завинаги. Вглеждам се много внимателно в годините си в Принстън.
Принстън и Харвард се отнасят много добре с аспирантите. Съществува добро съотношение между броя на студентите на факултет. Студентите се финансират добре, отделите са достатъчно малки, за да могат студентите да получат специално внимание. И мисля, че учениците научават много един от друг и на двете места. Това е важен компонент на следдипломното образование.
Бъркли също е прекрасно. Това е място, което има огромен отдел, сто колежа, ако броите emeritus. Много ми хареса, но отнема много енергия, за да намеря добро място за живеене, да намеря добър съветник и да вляза в правилната ниша, математически и т.н. Но докато правите това, плаща много. И времето е прекрасно. Можете да се разходите от кампуса до Strawberry Canyon, след това до Tilden Park и да останете напълно извън човечеството за 40 минути. (В Харвард, от друга страна, открих, че мога да карам колело за един час и все пак да съм в предградията ...) В Бъркли басейните са на открито, много оживени и също много толерантен - към всякакви различни стилове на живот, различни видове хора. Изпитвате чувство за свобода. Не се чувствате способни да изпробвате нова идея и не е нужно да се притеснявате толкова много дали ще се получи или не. Едно от страхотните неща за Бъркли е, че има толкова много студенти и толкова много докторанти в областта, особено с MSRI, че можете да създадете работна група по всякакви математически теми, за които се сетите. Там има много математически интерес.
Наистина ми хареса да съм студент от Харвард. И Кембридж, и Бъркли имат предимства пред Принстън, в смисъл, че са млади общности, много неща се случват, те са близо до важен град. Можете да разберете малко от моя опит в дипломирането, че макар да мисля, че Харвард е наистина страхотен, фактът, че неговият факултет е малък, може да затрудни намирането на съветник, който е в района, където искате да работите. И мисля, че истинският ключ към успеха в аспирантурата е намирането на нещо, което ви интересува достатъчно, за да продължите да продължите четири или пет години.
В: Защо избрахте да дойдете в Харвард в Бъркли?
М: Дойдох за първи път като посетител. И много ми хареса да уча тук. В Бъркли студентските курсове често са много големи и беше много полезно да имаме тези много добри студенти в малък клас. И много ми хареса фактът, че катедрата е достатъчно малка, за да е лесно да се срещнеш с други членове на факултета. И, разбира се, тъй като бях аспирант тук, винаги съм гледал на Харвард като на това прекрасно място. Всъщност ми беше трудно да си представя, че съм учител тук, затова исках да разбера как е. Харесва ми, че моите сфери на интереси са различни, но те се припокриват с тези на други хора в отдела. Много се интересувам от много неща, които другите правят тук. Така че за мен по някакъв начин това ми позволява да продължа образованието си.
В: Но това не намалява възможностите ви за сътрудничество с други членове на факултета?
М: Първо, пътувам доста, така че виждам хора, които са в моята област във Франция, в Стонибрук или другаде. Повечето изследвания обаче се правят самостоятелно; Правя най-доброто изследване сам. Много е полезно да мога да водя спор от експерт в областта, но всъщност не пропускам някой, който е точно в моята област, за да си сътруднича. Трябва да призная, че беше трудно да дойда тук. Липсва ми животът в Бъркли и мога да прекарам там престой.
В: Вие се виждате като математик от Ренесанса в смисъл, че вашата работа обхваща голямо разнообразие от математически области.?
М (смее се): Не, виждам се по-скоро като аматьор, някой, който се занимава с много различни области и се интересува от много различни неща; Със сигурност не бих казал математик от Ренесанса. Сега наистина се радвам на много видове математика и обичам да работя върху нещо, което не съм експерт в изучаването на този предмет. Тази област, която описах, е наистина прекрасна по този начин, защото е толкова широка, че осъществява контакт с много различни видове математика. Когато дойдох в Харвард, установих, че за много теории (като теорията на Ходж за сложните сортове и т.н.) всъщност не разбирам и не бяхме много мотивирани да го изучаваме. Затова започнах с предмет, който можех да науча много добре: истинска променлива.
Взех истински курс по анализ, когато завърших; Отидох в Станфорд за една година и взех истински курс за анализ от Бенджамин Вайс, професор в Йерусалим. И това много ме развълнува от анализа. След това се върнах при Уилямс и работих в тясно сътрудничество с Бил Оливър. Той беше много влиятелен в моето математическо образование; от него за първи път научих тази идея за използване на речници в математиката, за да се използва като вид аналогия между различни области или различни теоретични разработки, за да се опитам да ръководя работата си. Такива бяха ранните ми влияния.
Когато дойдох в Харвард и бях някакъв кастинг. Знаех как да програмирам компютърната програма - работех през лятото в IBM-Watson в Yorktown Heights - и Mandelbrot и Mumford почти си сътрудничиха; Mandelbrot предоставя достъп до компютри от Yorktown Heights до Mumford, който рисува тези красиви изображения на гранични групи от Kleinian групи. Като човек, който беше запознат с компютърния свят на Йорктаун, започнах да работя за него като компютърен програмист, помагах му да рисува тези изображения и т.н. Трябва да си представите, че по онова време трябваше да осъществим обаждане на модем на дълги разстояния и след това да работим по програми за въвеждане на 30 символа в секунда във FORTRAN. След това правим снимка и ще трябва да изчакаме една седмица да ни изпратят писмо от Йорктаун, за да видим дали е минало добре.
Тогава се заинтересувах от размера на Хаусдорф и тъй като знаех истински анализ, се опитах да работя върху него. Първата ми работа беше по проблем, който научих, когато срещнах професор Хиронака, професор в Харвард, въпреки че беше на почивка в Япония. Когато се върна за първи път от Япония, той ми каза този въпрос, който не успя да реши, а именно да изчисли фракталния размер на определен набор. Този комплект се получава чрез изчертаване на буквата "М" и повтаряне на същата фигура, както е показано тук .
В крайна сметка получавате комплект с не е самоподобен, а е самостоятелен боровинка. Фракталите, чиито размери са лесни за изчисляване, имат свойството, че ако вземете малко парче и го преоразмерите със същия коефициент и в двете измерения, то изглежда като по-голямо парче. Той има свойството, че много голяма разлика може да бъде намалена при големия ръб, но трябва да мащабирате с мощност две в едната посока и степен на три в другата; защото размерът е труден за изчисляване. В първата си изследователска работа изчислих нейния размер: D = log 2 (1 + 2 log 3 2). Това беше прекрасен проблем; Работих много по това. Виждате, че ми хареса да съм близо до математическата област, която разбрах.
След това започнах да се интересувам повече от сложната динамика, така че преминах към сложна променлива от реална променлива; Винаги съм оставал близо до неща, които мога да разбера. Така че сега, дванадесет години след моя лекар, най-накрая пиша статия, свързана с геометрията на Kähler; и със сигурност не се чувствах добре с ценностите на Kähler, когато бях в училище. Трябваше да работя не само върху темите, но и да видя вътрешна мотивация, за да стигна до тях, вместо да ги поставя в „добре, това ще научим по-нататък“.
В: Каква беше „аналогията на речника“, за която говорихте?
М: Най-голямото математическо влияние оказа моят дисертант, Денис Съливан. Не само той ми беше съветник по дипломната работа, но когато все още беше в IHES във Франция, прекарвах няколко месеца заедно всяко лято там и отивах в семинарията му в Ню Йорк или Принстън. Сега той е учител в Стоуни Брук, Ню Йорк и се опитвам да го посещавам веднъж годишно.
В: Къде държите вашия полеви медал? Дръжте го у дома?
М (смее се): Не мога да разкрия информацията!
В: Каква беше ситуацията, когато спечелихте медала на Fields? Как се чувстваше той?
М: Първата ми реакция беше на пълно учудване; Бях много развълнуван. Всъщност мислех, че не съм квалифициран по отношение на възрастта. Познавах също толкова много велики математици тук и в Бъркли и другаде, че не можех да повярвам, че съм избран. Също през 1991 г. спечелих наградата Salem, която е награда за анализ; Бях развълнуван да бъда разпознат по този начин, защото наистина обичам областта - за първи път съм математик. Всъщност написах дипломната си работа като аспирант по проблемите на Салем и тази награда е в чест на Рафаел Салем, така че има лично значение за мен. Никога не съм очаквал да получа такова признание, така че определено се чувствах така, сякаш вече съм изпълнил своята част от признанието. (Бях също толкова изненадан да получа оферта от Харвард, но отново не знаех какво да кажа.
Това напомня е една поговорка на Липман Берс, който беше един от моите ментори; той каза: "Математиката е нещо, което правим за измамно възхищение на няколко близки приятели." Мисля, че това е добро описание на математиката; не очаквайте повече от това, защото удовлетворението от математиката наистина е нещо лично. Така че се чувствам много щастлив, че бях избран за признаване от комисията по медалите на Fields.
Едно от чудесните неща в математиката е, че общността е доста малка. Когато отидох в Берлин, за да получа тази награда, присъстваха много хора, които познавах добре през годините - една прекрасна международна общност от мои приятели. Беше наистина красиво нещо.
В: Как бихте могли да контролирате ентусиазма си?
М: Е, случилото се беше, бях толкова развълнуван, че бързо забравих за това, защото наистина не можех да повярвам. И тогава, от време на време, щях да си спомня. И бих си помислил, че това не може да е вярно (смее се) и, разбира се, не мога да проверя, защото това трябваше да е тайна.
В: май това е нещо, което искате да споделите с нас за медала?
Всъщност имам история за това, когато се върнах от Берлин. Охраната на летището, управляваща металотърсача, ме спря, когато раницата ми мина през колата. Тя каза: "Извинете, какво имате в раницата си тук?" Казах: "Това е златен медал." Тя каза малко колебливо: И аз го извадих от пакета си. Малко огорчен, той каза: "О, много красива, твоя ли е?" Казах "Ммммм!"