Хомология и математика Русия е нашата Родина
Потребителски инструменти
Инструменти на сайта
Съдържание
Хомология - една от основните концепции за алгебрична топология.
Осигурява възможност за конструиране на алгебричен обект (група или пръстен), който е топологичен инвариант на пространството.
Затворената линия на повърхността е хомоложна на нула, ако е границата на някои от нейните участъци. Пример: на сфера всяка затворена линия е хомоложна на нула, група. На тора има затворени линии, които не са хомологични на нула, групата не е тривиална.
Симплициална хомология
Симплициалната хомология се дефинира за полиедри чрез конструиране на симплициален комплекс.
Единична хомология
Симплициалната хомология е дадена само за многогранници и доказателството за тяхната неизменност и функционалност е доста трудно.
Въведена е единична хомология, така че тяхната инвариантност и функционалност веднага стават очевидни.
Сингуларен симплекс на измерение е двойка, където е стандартният симплекс и е неговото непрекъснато картографиране; .
Групата на единичните вериги се определя като набор от формални линейни комбинации:
с цели числа (обикновено се считат и за ограничени) коефициенти .
В този случай, за линейно картографиране, определено от пермутацията на точки, предполагаме .
Граничният оператор се дефинира в единичен симплекс, както следва:
къде е стандартно-размерният симплекс и, къде Е неговото картографиране към th-то лице на стандартния симплекс .
Подобно на опростената хомология, може да се докаже, че .
Както и преди, се въвеждат понятията за единични цикли - такива вериги и граници - вериги за някои .
Факторната група на групата цикли по групата граници се нарича група на единична хомология.
Нека да намерим например единична хомология на пространството от една точка .
За всяко измерение има само едно картографиране .
Границата на симплекса, където всички са равни, тъй като те картографират симплекса до една точка (означават).
, ако е нечетен (броят на членовете в сумата е четен и знаците се редуват); ако u е четно;, ако .
Оттук получаваме нулевото измерение: .
За нечетно измерение .
За равномерно измерение .
Тоест, хомологичната група е равна за нула измерение и равна на нула за всички положителни измерения.
Може да се покаже, че на множеството полиедри единичната хомология съвпада с предварително дефинираната симплициална.
Единична хомология е въведена от Лефшец.
Хомология с коефициенти в произволни групи
Човек може да определи хомологията, като позволи на коефициентите на опростените във веригите да бъдат елементи на всяка абелова група. Тоест, вместо групи, помислете за групи .
Хомологичните групи (симплициални, единични и т.н.) пространства с коефициенти в групата се означават с. Обикновено те използват група реални числа, рационални числа или циклична група остатъци по модул - и обикновено - се взема просто число, тогава това е поле.
Друго описание. Кандидатстване в комплекса
функтор, получаваме комплекса
чиято хомология е хомологията с коефициенти в .
Кохомология
В допълнение към веригите, може да се въведе понятието ко-вериги - карти на векторното пространство на веригите в група. Тоест, пространството на кокаините .
Граничният оператор се определя по формулата: (където). За такъв граничен оператор,
Следователно, подобно на казаното по-горе, можем да въведем понятията за коцикли, coboundaries и cohomology .
Понятието кохомология е двойствено на понятието хомология.
Ако е пръстен, тогава естественото умножение (продуктът на Колмогоров - Александър или -продуктът) се дефинира в групата на кохомолозите, която превръща тази група в градуиран пръстен, наречен когомологичен пръстен.
В случая, когато е диференцируем колектор, пръстенът на когомологиите може да се изчисли, като се използват диференциални форми (вж. Теоремата на дьо Рам).
Понятието кохомология е въведено от Александър и Колмогоров.
Относителна хомология и точна хомологична последователност
Вземете случая на две топологични пространства. Група вериги (веригите могат да бъдат или с цялостни коефициенти, или с коефициенти във всяка група). Елементите на факторната група ще се наричат относителни вериги. Тъй като граничният оператор на хомологичната група на подпространството се превежда, можем да определим граничния оператор върху факторната група (ние го обозначаваме по същия начин) .
Тези относителни вериги, в които се превежда, ще се наричат относителни цикли, а веригите, които са неговите стойности, - относителни граници. Тъй като за абсолютните вериги, същото ще важи и за относителните, следователно. Факторната група се нарича група на относителната хомология.
Тъй като всеки абсолютен цикъл в е също относителен, имаме хомоморфизъм По функториалното свойство вграждането води до хомоморфизма .
На свой ред можем да изградим хомоморфизъм, който дефинираме по следния начин. Позволявам е относителна верига, която определя цикъл от. Нека го разгледаме като абсолютна верига в (до елементи). Тъй като това е относителен цикъл, той ще бъде равен на нула до някаква верига. Задайте равни на класа на хомологията на веригата .
Ако вземем друга абсолютна верига, определяща същия относителен цикъл, тогава ще имаме къде. Имаме, но тъй като това е граница, те определят същия елемент в групата на хомологиите. Ако вземем друг относителен цикъл, даващ същия елемент в групата на относителната хомология, където е относителната граница, то поради факта, че границата за относителна хомология, където, следователно, но, и е границата в .
Следователно класът на хомологията е уникално дефиниран. От линейността на оператора става ясно, че той е хомоморфизъм. Имаме хомоморфизми:
Може да се докаже, че тази последователност е точна, тоест образът на всеки хомоморфизъм е равен на ядрото на следващия хомоморфизъм.
Аксиоми на Steenrod - Eilenberg
В допълнение към симплициалната и единична хомология, които вече познаваме, има и други теории за хомология и кохомология, например клетъчна хомология, кохомология на Александров - Чех, комомология на Де Рам и др. теория. Първо, те определят т.нар. допустим клас от двойки топологични пространства, отговарящи на следните свойства:
В теорията на хомологията на Steenrod - Eilenberg всяка допустима двойка и всяко цяло число k съответства на абелева група, а непрекъснатото картографиране на двойки съответства на хомоморфизъм (пространството се идентифицира с двойка) и c), и са налице следните аксиоми:
точен (аксиома на точността).
За единична хомология допустимият клас двойки се състои от всички двойки топологични пространства. Дефинираните по-рано единични хомологични групи с коефициенти в групата на техните отображения и граничния хомоморфизъм удовлетворяват всички тези аксиоми. Ако приемем класа на многогранниците като допустим клас, тогава можем да докажем, че хомологията, определена с помощта на тази система от аксиоми, съвпада със симплициалната.
По същия начин може да се въведе система от аксиоми за кохомология, която е напълно аналогична на.
Необходимо е само да се има предвид, че картографирането съответства на (контравариация) и че граничният хомоморфизъм увеличава измерението.
Изключителна хомология
В системата от аксиоми на Steenrod - Eilenberg аксиомата на измерението не е толкова важна, колкото останалите.
Теориите за (ко) хомология, които ненулевите (ко) хомологични групи на едноточково пространство могат да имат за измерения 0> "alt =" tex: 0> "align =" absmiddle ">, се наричат извънредни или обобщени. Най-важното извънредно теории са К-теорията Атия (трябва да се отбележи важният принос към тази теория на Хирцебрух, Бот и Адамс) и теорията на бордизма от Р. Том.