Формиране на математически понятия
На първо място е необходимо да се определят видовете образователни задачи за усвояване на материала, след това знанията и уменията, необходими за тяхното изпълнение, и накрая, съответните методи на образователни дейности на учениците.
В. И. Крупич определя следните основни образователни задачи за формиране на математически понятия:
1. Наблюдение (измерване, изграждане, моделиране) на обекти с цел да се подчертаят техните свойства.
2. Анализ на свойствата на обекта, по време на който е необходимо да се определи кои от тях са общи, отличителни, съществени (важни) или несъществени (второстепенни).
3. Сравнение на обекти и техните свойства.
4. Установяване и използване на аналогия.
5. Абстрахиране от различни или неподходящи свойства на обектите.
6. Синтез на обекти и техните свойства. Обобщение, формулиране на преценка за общите основни характеристики на обектите, въвеждане на термин или символ за обозначаване на понятие.
7. Използване на индуктивен извод.
8. Дефиниция на понятие - формулирането на изречение, в което са изброени необходимите и достатъчни характеристики на понятието.
9. Конкретизация на концепцията - потвърждение за съществуването на клас обекти, съответстващи на концепцията (доказателство за теоремата за съществуването, даване на примери, решаване на конструктивни задачи).
10. Привеждане на тестови случаи - примери за непринадлежност към концепцията.
11. Извеждане на последици от дефиницията на понятие. Обобщаването по концепция е съотнасянето на всеки обект с концепция, като се приеме, че този обект има признаци на дадена концепция.
12. Формулиране на друга дефиниция на известно понятие (намиране на нови характерни черти) и доказване на еквивалентността на различни дефиниции на едно и също понятие.
13. Класификация - разделяне на набора от изследвани понятия на класове и видове.
14. Систематизиране на понятията - установяване на връзки между тях.
15. Специализация - преход към разглеждане на понятия от по-тесен клас (тип).
16. Установяване на връзки между понятията.
17. Използване на дефиницията на понятие при доказване на теорема и решаване на проблем.
18. Използване на дефиницията на понятие при доказване на теорема и решаване на проблем.
19. Запаметяване на дефиницията на понятие.
20. Контрол върху усвояването на дефиницията на понятието.
При формирането на различни концепции значимостта на определени задачи се променя в зависимост от възрастовите характеристики на учениците, съдържанието на курса и етапите на работа по концепции. Например, ние вярваме, че в един основен курс по математика можете да пропуснете (да не използвате) следните учебни проблеми:
- извеждане на последици от дефиницията на понятие;
- доказателство за еквивалентността на различни дефиниции на едно и също понятие;
- използване на дефиницията на понятие при доказване на теореми.
Също Крупич В.И. подчертава определени знания и умения, необходими за решаване на определени проблеми []:
- Да знаеш какви са свойствата на даден обект - общи, различни, съществени. Незначително, необходимо, достатъчно; да може да различава свойствата в изследваните обекти и да ги диференцира.
- Осъзнайте и познайте същността на умствените операции като анализ, синтез, сравнение, обобщение и т.н. Умейте да ги изпълнявате.
- Познават структурата на логическите форми на мислене - дефиниции на понятия, формулиране на съждения, извеждане на последици, доказване на теореми. Умейте да ги изпълнявате.
- Познавайте техниките за запаметяване и контролиране на усвояването на наученото и да можете да ги използвате.
Като цяло сме съгласни с него, но не е необходимо учителят в начално училище да знае структурата на доказателствата на теореми, така че не използваме съответните упражнения в нашата работа.