Element_geometrija_stereometrija_tom - Страница 7
векторна AB проекция (фиг. 50):
AB = A 1 B 1 = | AB | cos a
Нека се даде равнина p и единичен вектор e перпендикулярен на нея и нека p е векторът на ортогоналната проекция на този вектор r върху
равнина p (фиг. 51). Тогава p = r - q, където q е векторът на ортогоналната проекция на вектора r върху права линия с вектора на посоката e:
3.2. Разрешаване на проблеми. Формулите (3.14) и (3.15) са удобни за използване. Помислете за решения на следните три проблема.
Задача 1. Докажете, че сумата на квадратите на ортогоналните проекции на всички ръбове на куба върху произволна равнина е постоянна.
Решение. Нека a, b, c са векторите на двойно перпендикулярни три ръба на куба, а e единичният вектор, перпендикулярен на равнината на проекция. Тогава сумата от квадратите на проекциите на всички 12 ръба на куба е
4 (a 2 1 + b 2 1 + c 2 1), където a 1, b 1, c 1 са векторни проекции на вектори a, b, c. Съгласно (3.15) тази сума е равна на 4 (a 2 - (ae) 2 + b 2 - (be) 2 + c 2 - (ce) 2) = = 4 (a 2 + b 2 + c 2 - a 2 cos 2 a - b 2 cos 2 b - c 2 cos 2 g), където a, b, g са ъглите на вектора-
pa e с вектори a, b, c. Ако a е дължината на ръба на куба, тогава a 2 = b 2 = c 2 = a 2 и следователно необходимата сума е 12a 2 - 4a 2 (cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g). Вземайки предвид идентичността (1.1), получаваме, че разглежданата сума е равна на 8a 2, т.е. не зависи от избора на равнината на проекция.
Задача 2. Докажете, че сумата на квадратите на ортогоналните проекции на всички ръбове на правилен тетраедър върху произволна равнина не зависи от избора на равнината.
Решение. Нека да конструираме описан паралелепипед за даден тетраедър - куб (раздел 3.2, гл. 1). Нека векторите a, b, c са вектори на три двойно перпендикулярни ръбове на този куб. Тогава векторите a + b, b + c, c + a, a - b, a - c, b - c са векторите на ръбовете на този тетраедър. Според формула (3.15) разглежданата сума от квадратите на техните проекции е равна на:
c = (a + b) 2 - ((a + b) e) 2 + (b + c) 2 - ((b + c) e) 2 + (c + a) 2 - ((c + a) e ) 2 +
+ (a - b) 2 - ((a - b) e) 2 + (a - c) 2 - ((a - c) e) 2 + (b - c) 2 - ((b - c) e) 2 = = 4 (a 2 + b 2 + c 2) - 4 ((ae) 2 + (be) 2 + (ce) 2) = 12a 2 - 4a 2 (cos 2 a + cos 2 b +
+ cos 2 g), където a е дължината на ръба на куба, a, b, g са ъглите на вектори a, b, c с вектор e. Тъй като cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1, тогава c = 8a 2. Ако m е дължината на ръба на тетраедъра, тогава m 2 = 2a 2 и c = 4m 2 .
Задача 3. Докажете, че сумата от квадратите на разстоянията от върховете на правилен тетраедър ABCD до произволна права линия, преминаваща през центъра му O, не зависи от избора на права линия.
Решение. Нека e е единичен вектор колинеарен на дадена права линия. Разглежданата сума на квадратите на разстоянията di от върховете на тетраедъра до тази права линия е равна на сумата от квадратите на ортогоналните проекции на векторите OA, OB, OC, OD върху равнината, перпендикулярна на вектора e . Да разгледаме куб, описан около тетраедър и вектори a, b, c
ръбове на куба, насочени към върховете A, B, C. Тогава OD = 1 2 (a + b + c),
OA = 1 2 (a - b - c), OB = 1 2 (b - a - c), OC = 1 2 (c - a - b) и OA 2 = OB 2 = = OC 2 = OD 2 = R 2, където R е радиусът на сферата, описана около тетраедъра.
По формула (3.15) намираме: d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4 = 4R 2 - 1 4 4 ((a e) 2 + (b e) 2 +
+ (ce) 2) = 4R 2 - a 2 (cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g), където a е дължината на ръба на описания куб, a, b, g са ъглите на дадена права с краищата си, cos 2 a + cos 2 b +
+ cos 2 g = 1. Лесно е да се изчисли, че a 2 = 4 3 R 2. Следователно d 2 1 + d 2 2 +
+ d 2 3 + d 2 4 = 8 3 R 2 = const.
Цели за глава 3
3.1. В тетраедър ABCD ръбовете DA, DB, DC са двойно перпендикулярни. Докажете, че площта на всяко лице, съдържащо върха D, е средната геометрична стойност на площта на неговата ортогонална проекция върху равнината ABC и площта на лицето ABC.
3.2. Докажете, че в правоъгълен тетраедър ABCD с прави равни равни ъгли при върха D има следното равенство:
S 2 = S 1 2 + S 2 2 + S 3 2,
където S е площта на лицето ABC. (Стереометричен аналог на питагорейската теорема.)
3.3. Размерите на правоъгълен паралелепипед са a, b, c. Намерете площта на напречното сечение на равнина, съдържаща средните точки на шестте й ръба.