Динамична система - биология

Колко горещо е твърде горещо за живота дълбоко под дъното на океана?

Антибиотици от бактерии

Клетъчна миграция: новооткрита функция на известен протеин

Молекулярен компас за подравняване на клетките

Какво кара листата да стареят през есента

Демокрацията на лешоядите токачки

Околната среда на Ekembo: Хората също живееха в открити пейзажи

| Генетика | Земеделие, горско стопанство и животновъдство

Сортът пшеница е създаден чрез кръстосване на диви треви

Колко горещо е твърде горещо за живота дълбоко под дъното на океана?

Динамична система

Под (детерминиран) динамична система човек разбира математическия модел на зависим от времето процес, който хомогенен по отношение на времето, т.е. неговия ход от самото началоСъстояние, но не от самото началовреме Зависи. Терминът динамична система в сегашния си вид се връща към математика Джордж Дейвид Биркхоф.

Динамичните системи намират разнообразни приложения в ежедневните процеси и позволяват прозрения в много области не само на математиката (напр. Теория на числата, стохастика), но и на физиката (напр. Движение на махалото, климатични модели) или теоретичната биология (напр. Модели на плячка на хищници).

Човек прави разлика между по-дискретно и по-непрекъснато Развитие на времето. В дискретна във времето динамична система състоянията се променят при еквидистантни скокове във времето, т.е. H. в последователни, винаги еднакво големи интервали от време, докато промените в състоянието на една непрекъсната във времето динамична система се извършват с безкрайно малки времеви стъпки. Най-важното средство за описване на динамични системи с непрекъснато време са автономните обикновени диференциални уравнения.

Смесена система от непрекъснати и дискретни подсистеми с непрекъснато-дискретнотой също се нарича динамичен хибрид определен. Примери за такава хибридна динамика могат да бъдат намерени в процесното инженерство (например системи за дозиране на шаблони).

Дефиниции

A динамична система е тройна $ (T, X, f), $, състояща се от набор $ T = \ N_0, \ Z, \ R ^ + _ 0 $ или $ \ R, $ dem Период, непразен набор $ X $, Държавно пространство, и операция $ f \ colon \, T \ по X \ до X $ от $ T $ до $ X, $, така че за всички условия $ x \ в X $ и всички Точки във времето $ t_1, t_2 \ в T $ се прилага следното:

$ f (0, x) = x $ (Идентичност собственост) и
$ f (t_2, f (t_1, x)) = f (t_2 + t_1, x) $ (Полугрупова собственост).

Ако $ T = \ N_0 $ или $ T = \ Z $, тогава $ (T, X, f) се нарича $ дискретни във времето или кратко дискретен, и с $ T = \ R ^ + _ 0 $ или $ T = \ R $ се извиква $ (T, X, f) $ непрекъснато във времето или непрекъснато. $ (T, X, f) $ се нарича още дискретна или непрекъсната динамична система в реално време или като обратим обозначава дали се прилага $ T = \ Z $ или $ T = \ R $.

За всеки $ x \ в X $ картата се нарича $ \ beta_x \ colon \, T \ to X, \, t \ mapsto \ beta_x (t): = f (t, x), $ die Ход от $ x = \ beta_x (0) $ и зададеното $ O (x): = \ $ става влак или (пълен) орбита извикан от $ x $. The положителна половин орбита или Права орбита от $ x $ е $ O ^ + (x): = \ $ и ако $ (T, X, f) $ е обратим, $ O ^ - (x): = \ $ der отрицателна половин орбита или Обратна орбита от $ x $ .

Дискретна динамична система $ (T, X, f) $ е стабилно, ако неговото пространство на състояния $ X $ е (непразно) метрично пространство и ако всяко преобразуване $ \ varphi_t \ colon \, X \ to X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x), принадлежащо към точка във времето $ t \ in T $: = f (t, x), $ е непрекъснато. Непрекъсната динамична система се нарича $ (T, X, f) $ стабилно или един Половин поток, ако неговото пространство на състоянието $ X $ е метрично пространство и ако всяка трансформация, принадлежаща на даден момент във времето, както и всяко движение на състояние е непрекъсната. Освен това непрекъсната дискретна динамична система $ (\ Z, X, f) $ се нарича още a каскада и половин поток $ (\ R, X, f) $ един поток. Нарича се още пространството на състоянията на непрекъсната динамична система Фазово пространство и на всеки $ x_0 \ в X $ орбитата като Фазова крива или Траектория обозначава се с $ x_0 $, което просто се записва $ x \ colon \, t \ mapsto x (t) $ с $ x (0) = x_0 $ .

Ако някой комбинира непрекъснати и, ако е необходимо, допълнителни дискретни динамични системи, за да образува система, това се нарича a непрекъснато-дискретното или също хибридтова е динамична система.

Забележки

В литературата често не се прави разлика между динамични системи и непрекъснати динамични системи или потоци, а потокът често се разбира като диференцируем поток (виж по-долу). Съществуват и по-общи определения за непрекъснати динамични системи, в които z. Б. като фазово пространство се приема топологичен многообразие, (евентуално компактно) пространство на Хаусдорф или дори просто топологично пространство.
Вместо лявата операция $ f $, както е в дефиницията по-горе, динамичните системи често се дефинират с дясна операция $ f_r \ colon \, X \ пъти T \ до X $ на $ X $, след това редът на аргументите се обръща съответно.
В дефиницията се изисква свойството за идентичност на операцията $ f $, тъй като всяко състояние $ x $ не трябва да се променя, докато не мине време (т.е. за $ t = 0 $). Това свойство означава, че трансформацията, принадлежаща на $ 0 $, е идентичното преобразуване на $ X $: $ \ varphi_0 = \ operatorname_X. $
Свойството полугрупа прави динамичната система хомогенна по отношение на времето: Първо получавате $ t_1 $ времеви единици от състоянието $ x $ до състоянието $ f (t_1, x) $ и след това от $ t_2 $ времеви единици до състоянието $ f (t_2 + t_1, x) $, d. H. към същото състояние, до което се стига директно от състоянието $ x $ в $ t_2 + t_1 $ времеви единици. Трансформациите $ \ varphi_t \ colon \, X \ to X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x): = f (t, x), $ принадлежащи към всички времена $ t $ образуват комутативна полугрупа със състава $ \ circ $ като връзка и с неутрален елемент $ \ varphi_0 $, в допълнение фигурата $ T \ to X ^ X \ !, \, t \ mapsto \ varphi_t, $ е хомоморфизъм на полугрупа: $ \ varphi_ = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ за всички $ t_1, t_2 \ in T. $ Тази трансформационна полугрупа е дори група в обръщаеми динамични системи, тъй като за всички $ t \ в T $ $ \ varphi_ $ е обратният елемент на $ \ varphi_t. $
След това динамична система $ (T, X, f) $ с $ T = \ N_0 $ или с $ T = \ R ^ + _ 0 $ може да бъде преобразувана в обратима динамична система $ (T ', X, f') $ продължете с $ (T '\ cap \ R ^ + _ 0, X, f' | _) = (T, X, f) $, ако преобразуването $ \ varphi_1 $, принадлежащо на $ 1 $, е обратна функция $ (\ varphi_1) ^ $ притежава. След това има $ \ varphi_: = (\ varphi_1) ^ $ и рекурсивно $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ за всички $ n \ в \ N. $ Ако $ (T, X, f) $ е непрекъснат, тогава от $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ за всички $ t = n + s \ in \ R ^ + _ 0 $ с $ n \ in \ N_0 $ и $ s \ in [\, 0,1) $ също ясно дават всички трансформации, принадлежащи към отрицателни времена. С $ T ': = T \ cup \ $ има точно една операция $ f' \ двоеточие \, T '\ по X \ до X, \, (t, x) \ mapsto f' (t, x): = \ varphi_t (x), $ деклариран от $ T '$ до $ X $, така че $ (T', X, f ') $ е обратимото продължение на $ (T, X, f) $.
Поради свойството полугрупа, всяка дискретна динамична система $ (\ N_0, X, f) $ или $ (\ Z, X, f) $ може да се използва като итеративно приложение на трансформацията $ \ varphi: = \ varphi_1 $, принадлежаща на $ 1 $ с Разглеждайте точките във времето като итерационни индекси: $ \ varphi_ = \ varphi \ circ \ varphi_t $ за всички $ t \ in \ N_0 $, а за $ (\ Z, X, f) $ има и $ \ varphi_ = \ varphi ^ \ circ \ varphi_t $ за всички $ -t \ in \ N_0. $ Следователно $ (T, X, f) $ вече се определя еднозначно от $ \ varphi $ и може да се напише по-лесно $ (X, \ varphi) $.
Ако човек ограничи времето до $ T \ cap \ Z $ в непрекъсната динамична система $ (T, X, f), $, тогава с $ (T \ cap \ Z, X, f | _) $ винаги се получава дискретна динамична система. От една страна, тази дискретизация се използва широко в цифрите, напр. Б. при обратен анализ. От друга страна, съществуват природни и технически системи, които се характеризират с непрекъснати промени в състоянието и които могат да бъдат моделирани директно от дискретни динамични системи.
В теорията на динамичните системи човек се интересува особено от поведението на траекториите за $ t \ to \ pm \ infty. Количествата $ Limes и тяхната стабилност са от голямо значение тук. Фиксираните точки са точно тези точки $ x $ от фазовото пространство, за които съществува точка, чиято траектория за $ t \ to + \ infty $ клони към x и ограничават набори от такива точки. В допълнение към фиксираните точки, най-важните гранични количества са периодичните орбити. Въпреки това, особено в нелинейните системи, човек среща и сложни непериодични гранични набори. В теорията на нелинейните системи фиксираните точки, периодичните орбити и общите непериодични гранични набори са посочени под общия термин атрактор (или. Репелер, ако е отблъскващо, вж. също странен аттрактор), включен. Те са разгледани подробно в теорията на хаоса.

Важни специални случаи

Символична динамика в дискретна динамична система има $ (T, X, f) $ с $ X = A ^ T $ за азбука $ A $ ($ X $ е безкрайна последователност от символи от $ A $) и $ \ varphi_1 $ е така наречената карта за смяна, която измества символите във всяка последователност с едно място.
Диференцируем (Половината) потоци са (наполовина) потоци $ (T, X, f) $, за които всяка трансформация, принадлежаща към момент във времето, е диференцируема. По-специално, всяка от тези трансформации на диференцируем поток е дифеоморфизъм.
В хаотиченen илюстрации, като например Б. Картографиране на Бернули, логистично картографиране или Хеноново картографиране, дискретизациите играят основна роля, за да могат да се изследват итерирани карти.

Примери

Физически пример е двойното махало, химическото Брюкселатор.

Диференцируем поток от физиката

Нека $ M $ е компактен диференцируем колектор, например недегенерирана енергийна повърхност в $ \ mathbb ^ n $ и $ v \ colon \, M \ до TM $ гладко векторно поле над $ M $. Тогава, според теоремата на Пикард-Линдельоф, съществува еднопараметрична група от дифеоморфизми $ \ varphi_t \ colon M \ to M $ с

$ \ varphi_0 = \ operatorname_M, $
$ \ varphi_ \ circ \ varphi_ = \ varphi_ $ за всички $ t_1, t_2 \ in \ R, $
$ \ frac \ varphi_t = v \ circ \ varphi_t. $

Траекторията на фиксирана точка $ x $ от $ M $ е крива на решението на диференциалното уравнение от 3. до началната стойност $ x $. Тази $ 1 $ -параметрична група, съответстваща на гладкото векторно поле $ v $, се нарича поток на $ M $ .