Диференцируемост, Primat, Страница 2

Позволявам е последователност от функции, непрекъснато диференцируеми на интервал. Да предположим, че в някакъв момент числовата последователност се сближава и функционалната последователност се сближава равномерно. Тогава оригиналната последователност се сближава равномерно към непрекъснато диференцируема функция; освен това, за която и да е, равенството .

Доказателства

Нека означим. Чрез теоремата за непрекъснатостта на границата на еднакво сближаваща се последователност от непрекъснати функции получаваме, че функцията е непрекъсната. Нека сложим. Нека приложим на интервал с краища теоремата за преминаване до границата под интегралния знак към последователност. Тогава получаваме

(последното равенство е валидно поради формулата на Нютон-Лайбниц). Според хипотезата на теоремата тя съществува. Тогава от равенството следва, че съществува и, т.е. показахме, че последователността се сближава. Обозначаваме и получаваме това и тъй като функцията е диференцируема (като интеграл с променлива горна граница на непрекъсната функция) и (по силата на формулата на Нютон-Лайбниц), следва, че функцията също е диференцируема и, т.е. функция има производна, тази производна е непрекъсната и равенството е вярно. Остава да се покаже, че последователността се сближава до функция равномерно включена. Ние имаме

---