ЧИСЕЛНА ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТ
Например за функцията у = н 2 може да се напише:
Методи за секвениране. Поредиците могат да бъдат определени по различни начини, от които три са особено важни: аналитичен, описателен и повтарящ се.
1. Последователност се дава аналитично, ако е дадена формулата н-пети член:
Пример. yn = 2н ? един ? последователност от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, ...
2. Описателен начин за задаване на числова последователност е, че той обяснява от кои елементи се изгражда последователността.
Пример 1. "Всички членове на последователността са равни на 1". Това означава, че говорим за неподвижна последователност 1, 1, 1, ..., 1, ....
Пример 2. "Поредицата се състои от всички прости числа във възходящ ред." По този начин дадената последователност е 2, 3, 5, 7, 11, .... С този метод за определяне на последователността в този пример е трудно да се отговори какво е, да речем, 1000-ият елемент на последователността.
3. Периодичният начин за задаване на последователност е да се определи правило, което ви позволява да изчислявате н-th член на последователността, ако предишните членове са известни. Името рекурсивен начин идва от латинската дума повтаря се ? връщане. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява да се изрази н-th член на последователността през предходните и задайте 1 ? 2 начални условия на последователността.
Тук: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Последователността в този пример е специално изучена по математика, тъй като има редица интересни свойства и приложения. Нарича ли се последователността на Фибоначи ? кръстен на италиански математик от 13 век. Много е лесно да зададете рекурсивно последователността на Фибоначи, но аналитично ? много трудно. н-e Фибоначи числото се изразява чрез поредния му номер чрез следната формула .
На пръв поглед формулата за н-числото на Фибоначи изглежда малко вероятно, тъй като формулата, посочваща последователност от само естествени числа, съдържа квадратни корени, но можете да проверите "ръчно" валидността на тази формула за първите няколко н.
Свойства на последователността на числата. Последователност на числа ? специален случай на числова функция, следователно редица свойства на функциите се разглеждат за последователности.
Определение. Последователността yn> се нарича увеличаване, ако всеки от членовете му (с изключение на първия) е по-голям от предишния:
Възходящи и низходящи последователности са обединени от общия термин ? монотонни последователности.
Пример 1. y 1 = 1; yn = н 2 ? тази последователност не се увеличава и не намалява.
Определение. Една последователност се нарича периодична, ако има такова естествено число т, че като се започне от някои н, важи равенството yn = yn + T . Брой т наречена продължителността на периода.
Пример. Последователността е периодична с дължина на периода т = 2.
Аритметична прогресия. Числова последователност, всеки член от която, започвайки от втория, е равен на сумата от предишния член и същия номер д, наречена аритметична прогресия, и номера д ? разлика в аритметичната прогресия.
Така че аритметичната прогресия ? това е числова последователност an> дефинирани рекурсивно от отношенията
(а и д ? дадени числа).
Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, ? 1, ? 4, ... ? намаляваща аритметична прогресия, при която a 1 = 20, д = ? 3.
Не е трудно да се намери изричен (формуличен) израз an през н. Стойността на следващия елемент се увеличава с д в сравнение с предишния, следователно стойността н елемент ще се увеличи с (н ? един)д в сравнение с първия член на аритметичната прогресия, т.е.
Това е формулата н-th член на аритметичната прогресия.
Използване на изричен израз an през н, може да се докаже следното свойство на аритметичната прогресия: ако естествените числа i, j, к, л са такива, че i + j = к + л, тогава ai + aj= ак + ал. За да проверите това, е достатъчно да замените i, j, к и л вместо н във формулата н-th член на аритметичната прогресия и добави. Оттук следва, че ако разгледаме първото н членове на аритметична прогресия, тогава сумите на членовете на еднакво разстояние от краищата ще бъдат еднакви:
Последното равенство позволява изчисляване на сумата на първото н членове на аритметична прогресия:
За тази цел се взема още една същата сума, но условията се записват в обратен ред:
След това се добавя термин по термин с първоначалната сума и термините веднага се групират по двойки. Като резултат
от къде. Това е формулата на сумата н членове на аритметичната прогресия.
Аритметичната прогресия се нарича, защото в нея всеки член, с изключение на първия, е равен на средната аритметична стойност на двете съседни към него ? предишен и следващ. Наистина, тъй като
Добавянето на последните две равенства дава .
Следователно, следната теорема е вярна (характерно свойство на аритметична прогресия). Числовата последователност е аритметична тогава и само ако всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на средната аритметична стойност на предходните и следващите членове.
Пример. На каква стойност х номер 3х + 2, 5х ? 4 и 11х + 12 образуват крайна аритметична прогресия?
Според характеристичното свойство дадените изрази трябва да удовлетворяват връзката
Решението на това уравнение дава х = ? 5.5. С тази стойност х дадени изрази 3х + 2, 5х ? 4 и 11х + 12 вземат, съответно, стойностите ? 14.5, ? 31.5, ? 48.5. То ? аритметична прогресия, разликата му е ? 17.
Геометрична прогресия. Числова последователност, всички членове на която са ненулеви и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаване по същия номер q, се нарича геометрична прогресия, а числото q ? знаменател на геометрична прогресия.
Така че геометрична прогресия ? това е числова последователност bn> дефинирани рекурсивно от отношенията
Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... ? нарастваща геометрична прогресия б = 2, q = 3.
Пример 2. 2, 2, 2, 2, ... ? геометрична прогресия б = 2, q = ? 1.
Геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1> 0, q > 1 и намалява, ако b 1> 0, 0 2, b 2 2, b 3 2, ..., бн 2, ... е геометрична прогресия, чийто първи член е b 1 2, а знаменателят ? q 2 .
Формула н-членът на геометричната прогресия има формата
Можете да получите формулата за сумата на членовете на крайна геометрична прогресия.
Нека бъде дадена крайна геометрична прогресия
нека бъде Sn ? сумата от неговите членове, т.е.
.
Това е формула сummah n членове на геометрична прогресия за случая, когато q № 1.
Кога q = 1, формулата може да се пропусне отделно, очевидно е, че в този случай = а 1н.
Геометричната прогресия е наречена, защото всеки член в нея, с изключение на първия, е равен на средната геометрична стойност на предишния и следващите членове. Наистина, тъй като
следователно, бн 2 = bn ?един бн+1 и е вярна следната теорема (характеристично свойство на геометрична прогресия):
числова последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предишния и следващите членове.
Ограничение на последователността. Нека има последователност cn> = n>. Тази последователност се нарича хармонична, тъй като всеки от нейните членове, започвайки от втория, е средното хармонично между предишния и следващите членове. Геометрична средна стойност на числата а и б е число, или. С растеж н всички членове на геометричната прогресия намаляват и стойността им се доближава до нула. В този случай е обичайно да се казва, че за н, клоняща към безкрайност, дадената последователност се сближава и нулата е нейната граница. Написано е така:
.
Строгото определение на лимита се формулира, както следва:
Ако има такъв номер A, че за всяко (произволно малко) положително число e има естествено н (най-общо казано, в зависимост от д), което за всички н i н неравенството |един ? A| ЛИТЕРАТУРА
Николски С.М. Елементи на математическия анализ. М., Наука, 1981
Пискунов Н.С. Диференциално и интегрално смятане, том 1. М., Наука, 1985