Асимптотична оптималност на Bootstrap оценки - Разработване на проект на методи за оценка на показатели
Асимптотична оптималност на Bootstrap оценки
Помислете за проблема с оценката на функцията за разпределение F за извадка с размер n от. За простота приемаме, че функцията за разпределение F и оценката принадлежат на някакво пространство Z на функции на линията, което е оборудвано с нормата || * ||. В този случай загубите от приемане на оценката, когато истинската функция на разпределение е F, се измерват с величината, където l е монотонна не намаляваща функция на множеството неотрицателни числа. Например можете да измервате загубите с или. Рискът от оценка е средната стойност на загубите, т.е. ... За да се изключи появата на т. Нар. Свръхефикасни оценки, се въвежда минимален риск, където V е квартал на (неизвестно истинско разпределение) във F. Оценката се нарича локален асимптотичен минимум, ако в границата при него минималният риск над всеки достатъчно малък квартал V се оказва по-малък от този на която и да е друга оценка, т.е.
Свойството на локалната асимптотична минимакситност за оценката по правило ще бъде валидно за друга оценка, отклоняваща се от нея с, т.е. (по вероятност).
За много проблеми с оценката на функциите (не само функциите на разпределение), долните граници на асимптотичния риск на оценките са описани чрез информационно неравенство на формата
По-визуална форма на последното твърдение, която го доближава до класическите информационни неравенства, се получава, ако отидем до границата над кварталите V, свиващи се към (неизвестното вярно, по-скоро произволно) разпределение F 0:
Ето един гаусов процес с непрекъснати траектории, който има нулева средна стойност и ковариация, определени от формата на оценяваната функция и степента на априорна несигурност в разпределението на наблюденията. Така че, в проблема за непараметричната оценка на функцията на разпределение с обща несигурност на разпределение, това е добре известен Браунов мост с ковариационна функция на формата
тук е минимумът от t, s. Позволявам да бъде bootstrap версията на емпиричния процес,
където е емпиричната функция на разпределение, конструирана от извадка от бустрастрап с обем m от разпределението .
Беран обмисли тази ситуация. Да предположим, че статистика със свойството на асимптотична нормалност се изгражда от независима повтаряща се проба X n с размер n. По-точно, има поредица от функционали, за които се осъществява сближаване в разпределението, т.е. - оценка на функционалното в зависимост от n. Беран въведе редица аналитични предположения, които означават, че функцията на разпределение на случайната променлива допуска асимптотично разширение от първи ред (от типа на разширяването на Edgeworth) равномерно във функцията на разпределение F от малък квартал на произволно истинско разпределение F 0 . По този начин Беран използва приблизително приближение и по-точно приближение