Алгнум - Катедра по теория на числата

Курсова програма

Диофантово уравнение $ y ^ 3-x ^ 2 = 2 $. Прости разширения. Съотношение на разширение. Степенно поведение в разширените кули. Неразрешимост на задачите за удвояване на куб и трисектиране на ъгъл с помощта на компас и линийка.

Теорема за еквивалентността на крайността и крайното поколение на алгебрични разширения, неговите последствия. Алгебрична затвореност на полето на всички алгебрични числа. Теорема за примитивния елемент. Лема за продължаването на вгражданията и неговите последици. Нормални разширения. Група на Галуа за нормално удължаване и неговите свойства.

Полиномиално поле за разлагане. Галуа група на многочлен. Разтворимост в радикали на уравнения от втора, трета и четвърта степен. Кръгови полета. Теорема на Гаус за построяването на правилни многоъгълници. Крайни полета. Изчисляване на групата Галуа за някои полиноми. Неразрешимост в радикали на уравнения от пета и по-висока степен.

Характерният полином на число, връзката му с минималния полином. Норма и следа в алгебрични разширения, техните свойства. Дискриминантът на набор от числа, неговите свойства. Взаимна основа.

---