Алгебрично уравнение
АЛГЕБРАЙНО УРАВНЕНИЕ, уравнение от формата F (x1, ..., xm) = 0, където F е полином в m променливи, които се наричат неизвестни.
Предполага се, че коефициентите на полинома принадлежат към неподвижно земно поле K. Решение на алгебрично уравнение е набор x * 1 x * m от стойности на неизвестни от полето K (или неговото разширение), което, след заместване в полином F, го прави нула. Основната задача на теорията на алгебричното уравнение е да изясни условията, когато дадено алгебрично уравнение има решение и описание на множеството от всички решения.
Алгебрично уравнение с едно неизвестно има формата
Предполага се, че n> 0 и a0 ≠ 0. Числото n се нарича степен на уравнението, а числата са a0, a1. аn - по неговите коефициенти. Стойностите на неизвестното x, които са решения на уравнението, се наричат негови корени, както и корените на полинома F (x). Ако α е корен от уравнение (1), тогава полиномът F (x) се дели без остатък на (x-α) (теорема на Безут). Елемент α на земното поле K (или неговото разширение) се нарича k-кратен корен от алгебричното уравнение, ако полиномът F (x) се дели на (x-α) k и не се дели на (x-α) k + 1. Корените на множествеността 1 се наричат още прости корени на уравнението.
Всеки полином от степен n с коефициенти от полето K има най-много n корени в K, като брои корените, като се вземат предвид техните множества. Ако полето K е алгебрично затворено, тогава всеки такъв полином има точно n корена, като се вземат предвид техните множества. По-специално, това важи за полето на комплексните числа C (основната теорема на алгебрата). От теоремата на Безут следва, че F (x) може да бъде представена във формата
където α1. αn са корените на уравнението. Корените и коефициентите на уравнението са свързани с формулите на Vieta
Всяко уравнение на степен n≤ 4 е разрешено в радикали. Това означава, че за корените на уравнението има изрични формули, които изразяват корените по отношение на коефициентите на уравнението и използват само събиране, изваждане, умножение, деление и извличане на корени. В случая n = 2 (квадратно уравнение) формулите имат формата
Решения на проблеми, които се свеждат до определени форми на уравнения от 2-ра и 3-та степен, се намират в клинописните текстове на Древен Вавилон. Първото представяне на теорията за решаване на квадратни уравнения е дадено в „Аритметика“ от Диофан (3 век). Решението в радикали на уравненията на 3-та и 4-та степен в общ вид е получено от италианските математици Г. Кардано и Л. Ферари през 16 век. В продължение на почти 300 години се правят опити за намиране на общо решение в радикалите на уравнения с градуси по-големи от 4. През 1826 г. Н. Абел доказва, че това е невъзможно (обаче възможността за съществуването на такива формули за конкретни уравнения на степен n> 4 не е изключено). Пълно решение на въпроса при какви условия алгебричното уравнение е разрешимо в радикали е получено от Е. Галуа (около 1830 г.). Въпросът за разрешимостта на уравненията в радикали е тясно свързан с въпроса за геометричните конструкции с помощта на компас и линийка, по-специално, с разделяне на кръг на n равни части, с доказателство за невъзможността за удвояване на куб, трисектиране на ъгъл и квадратура на кръг.