Аксиоматична теория на множествата
АКСИОМАТИЧНАТА ТЕОРИЯ е посока в математическата логика, занимаваща се с изучаването на обекти от теорията на множествата по аксиоматичния метод.
Аксиоматичната теория на множествата означава също всяка специфична система, която формализира теорията на множествата. Аксиоматичната теория на множествата възниква в началото на 20 век в Европа във връзка с парадоксите на теорията на множествата, които показват, че наивната теория на множествата води до противоречия. Елиминирането на парадоксите се оказа възможно само по пътя на аксиоматичното ограничение на принципа, че всяко свойство определя съвкупността от всички обекти, притежаващи това свойство. Различните ограничения водят до различни версии на аксиоматичната теория на множествата.
Първата и най-известна от аксиоматичните теории на множествата е теорията на Zermelo - Fraenkel, която дефинира изграждането на множества стъпка по стъпка, т.е. при всяка крайна или трансфинитна стъпка се разглеждат само тези множества, всички елементи от които вече са били конструирани в предишните стъпки. Концепцията за трансфинитна стъпка също намира строга дефиниция в тази теория. Тази теория е формулирана в Е-езика, тоест в език с единичен начален неопределен символ Є на принадлежност: xЄX се разбира като „x е елемент от множеството X“. Множество Y се нарича подмножество на множество X, ако всеки елемент от множеството Υ също принадлежи към множеството X (обозначено с YЄX).
Ключовите аксиоми в теорията на Zermelo-Fraenkel (ZF теория) са.
1) Аксиома на екстенсионалност (размерност), която гласи, че всякакви две групи, съдържащи едни и същи елементи, са равни помежду си.
2) Аксиома на селекцията, която твърди, че множеството от всички елементи на даден набор, които удовлетворяват определено свойство, е множество.
3) Аксиомата на безкрайността, която твърди съществуването на безкрайно множество от определен тип, а именно непразно множество X такова, че xЄX => ЄX, където е множество, чийто единствен елемент е x.
4) Аксиомата на степента, която гласи, че колекцията P (X) от всички подмножества на дадено множество е множеството.
5) Аксиома на заместването, която гласи, че ако за всеки елемент x от даден набор X някак е даден набор f (x), тогава колекцията от всички така дефинирани множества f (x) е набор.