5 Уникалност на разлагането на основни фактори

а. Всяко цяло число a е взаимно просто с дадено просто число p, или се дели на p.

Доказателство: (a, p), като делител на p, може да бъде или 1, или p. В първия случай a е взаимно просто с p, във втория a се дели на p.

б. Ако произведението на няколко фактора се дели на даден прост p, то поне един от факторите се дели на p.

Доказателство: (а) всеки фактор е или съвместен с p, или се дели на p. Ако всички фактори са съвместни с p, тогава техният продукт (3, f, т. 2) ще бъде coprime на p. Следователно поне един фактор се дели на p.

° С. Всяко цяло, по-голямо от 1, се разлага в произведението на прости фактори и освен това по единствения начин (ако пренебрегнем реда на факторите).

Доказателство: Нека a е цяло число, по-голямо от 1; обозначавайки неговия най-малък главен делител с буквата p1, имаме a = p1a1. Ако a1> 1, тогава, обозначавайки с буквата p2 нейния най-малък главен делител, имаме a1 = p2a2. Ако a2> 1, тогава по подобен начин намираме a2 = p3a3 и т.н., докато стигнем до някакво равно на 1. Тогава получаваме an-1 = pn. Умножавайки всички намерени равенства и извършвайки отмяната, получаваме следното разлагане на a на прости фактори:

Да предположим, че за същото a има и второ разлагане на прости фактори a = q1q2q3… qs. След това намираме

Дясната страна на това равенство се дели на q1. Следователно (b), поне един от факторите отляво трябва да се дели на q1. Например, нека p1 се дели на q1 (редът на факторите е на наше разположение); тогава намираме p1 = q1 (с изключение на 1, p1 се дели само на p1). Намалявайки двете страни на равенството с p1 = q1, получаваме p2p3 ... pn = q2q3 ... qs. Повтаряйки предишните разсъждения във връзка с това равенство, получаваме p3 ... pn = q3 ... qs и т.н., докато накрая в една част от равенството, например вляво, всичко е съмнителножители. Но в същото време всички фактори от дясната страна също трябва да се отменят, тъй като равенството 1 = qп + 1 ... qs за qn + 1,. qs над 1 е невъзможно. По този начин второто разлагане на прости фактори е идентично с първото.

д. При разлагането на числото а на прости множители, някои от тях могат да се повторят. Означавайки с различни от тях букви p1, p2, ..., pk и с букви a1, a2, ak множествеността на тяхното появяване в a, получаваме така наречената канонична факторизация на числото a във фактори

Пример. Каноничното разлагане на 588000 ще бъде: 588000 = 2 5? 3? 5 3? 7 2 .

д. В заключение ще докажем няколко теореми, отнасящи се до делителите на число, както и най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на няколко числа.

1. Позволявам е канонично разлагане на числото a. Тогава всички делители на число са всички числа на формата

; (един)

Доказателство: Нека d разделя a. Тогава (b, т. 1) a = dq и следователно всички прости делители на числото d са включени в каноничното разлагане на числото a с експоненти, не по-малки от тези, с които те влизат в каноничното разлагане на числото d. Следователно d има формата (1). Обратно, всяко d от формата (1) разделя a.