Въртене около фиксирана ос - онлайн курсове
Очакват ви още учебни видеоклипове и многобройни материали:
Пълен пакет за студенти по инженерство
Видеото се зарежда .
Ако видеоклипът не се появи след кратко време:
Ръководство за гледане на видео
- Видео: Въртене около фиксирана ос
- Ъглова скорост
- Ъглово ускорение
- скорост
- ускорение
- Обобщение
- Пример: Въртене около фиксирана ос
В този раздел първо се разглежда въртенето на твърдо тяло около неподвижна ос. Следният клип трябва да служи като илюстрация. Свредлото на бормашина се завърта тук:
Видео: Въртене около фиксирана ос
Видеото се зарежда .
Ако видеоклипът не се появи след кратко време:
Ръководство за гледане на видео
Ако твърдо тяло се върти около фиксирана ос, както в горния клип [лекото неравновесие на тренировката се пренебрегва], всяка точка $ P $ в тялото се движи по кръгова пътека.
Ако твърдото тяло се върти около фиксирана ос на въртене, всички точки на твърдото тяло се движат по кръгова пътека. Кръговите пътеки на всички тела са перпендикулярни на оста на въртене. Задвижващият лъч $ r $ представлява връзката между точка $ P $ и точката $ 0 $ по оста на въртене.Движещите лъчи на всички точки на тялото покриват един и същ ъгъл на въртене $ \ varphi $ едновременно. Това означава, че ъгловата скорост $ \ omega = \ frac $ (извеждане на ъгъла по отношение на времето) и ъгловите ускорения $ \ alpha = \ frac = \ frac $ (извеждане на ъгловата скорост по отношение на времето) са еднакви за всички точки на тялото. Следователно е достатъчно да се разгледа една точка върху твърдото тяло и да се определят ъгловите скорости и ъгловите ускорения на тази една точка, която след това представлява цялото твърдо тяло. Следователно уравненията за кинематиката на масова точка могат да се използват за специалния случай на кръгово движение (виж раздел Специален случай: кръгово движение).
Ъглова скорост
Позицията на $ r $ в момента $ t $ се дава от ъгъла $ \ varphi $ между фиксирана референтна линия и $ r $. Промяната в ъгъла се определя от $ d \ varphi $. Тъй като въртенето е около фиксирана ос, посоката на промяната на ъгъла винаги е по фиксираната ос. Промяната в ъгъла след времето $ t $ е известна още като ъглова скорост:
метод
Ъглово ускорение
Промяната в ъгловата скорост във времето се нарича ъглово ускорение $ \ alpha $:
метод
Посоката на $ \ alpha $ зависи от това дали ъгловата скорост се увеличава или намалява. С увеличаване на ъгловата скорост, посоката на $ \ alpha $ съвпада с тази на $ \ omega $ (положително ъглово ускорение), с намаляване на ъгловата скорост, посоката на $ \ alpha $ е противоположна на посоката на $ \ omega $ (отрицателно ъглово ускорение).
Чрез премахване на $ dt $ от горните две уравнения чрез добавяне на $ d \ varphi $, получаваме диференциална връзка между ъгловото ускорение и ъгловата скорост:
Вмъкване на $ \ omega = \ frac $:
Умножение по $ d \ varphi $:
метод
$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $
скорост
Ако са дадени ъгловата скорост и ъгловото ускорение (които са еднакви за всички точки), могат да се определят скоростите и ускоренията на отделните точки. Те вече не са еднакви, тъй като точките, които са по-далеч от оста на въртене, имат по-висока скорост и по този начин също ускорение от точките, които са по-близо до оста на въртене.
Векторът на скоростта за точката $ P $ е резултат от:
метод
Вектор на скоростта
Скаларен компонент:
Тогава общата скорост като скалар може да бъде определена, както следва:
метод
Можете ясно да видите, че скоростта на всяка точка е различна поради $ r $. Точките, които са по-близо до оста на въртене, имат по-ниска скорост.
ускорение
метод
Вектор за ускорение
Скаларни компоненти:
Радиално ускорение $ a_r = - r \ omega ^ 2 $ (перпендикулярно на кръговата пътека)
Обиколно ускорение $ a_ = r \ dot = r \; \ alpha $ (тангенциално на кръговата пътека)
По този начин цялото ускорение като скалар може да бъде изчислено като:
метод
Ако ъгловата скорост $ \ omega $ е постоянна, производната на това дава стойността нула. Тогава периферното ускорение е нула. Това означава, че само посоката на движение се променя, скоростта остава постоянна.
метод
$ a = a_r $ Ускорение с постоянна ъглова скорост
Обобщение
- Всички точки на тялото, които се въртят около фиксирана ос на въртене, описват кръгови пътеки.
- Ако са известни ъгловата скорост и ъгловото ускорение, може да се определят скоростта и ускорението на всяка точка от тялото. Важно: ъгловото ускорение и ъгловата скорост са еднакви за всички точки при въртене около фиксирана ос на въртене. Скоростта и ускорението обаче не са, тъй като точките по-далеч от оста на въртене имат по-висока скорост от точките, близки до оста на въртене.
Пример: Въртене около фиксирана ос
пример
На графиката по-горе дискът $ S $, свързан към двигателя, започва да се завърта от неговото положение в покой с постоянно ъглово ускорение $ \ alpha_S = 2 rad/s ^ 2 $. Коланът кара долното колело $ R $ да се завърти. Определете размера на скоростта и размера на ускорението за точка $ P $ на колелото $ R $, след като колелото $ R $ се завърти веднъж. Неразтегнатата каишка не трябва да се плъзга, а да се придържа здраво. Прилага се следното:
$ r_S = 0,25 m $, $ r_R = 0,55 m $.
Казва се, че колелото $ R $ се е завъртяло веднъж. Една революция има $ 360 ° $ или $ 2 \ pi \; рад $. Това означава, че колелото $ R $ измита ъгъл от:
$ \ varphi_R = 360 ° $. bwz. в радиани: $ \ varphi_R = 2 \ pi \; рад $
Коланът не се побира и не се плъзга. Това означава, че от ролката $ S $ на ремъка винаги се отвива същата дължина, както от колелото $ R $. Дължината на колана може да се определи, като се използва формулата за дължината на дъга, тъй като колелото и ролката представляват кръг и коланът е увит около двете. Дължината на дъгата се определя от:
Забележете
$ L = r \ cdot \ varphi $ (в радиани)
Правилото е, че дължината на ремъка, който се отвива от ролката и колелото, винаги е една и съща:
$ L = r_R \ cdot \ varphi_R = r_S \ cdot \ varphi_S $ (в радиани)
И двете уравнения вече могат да бъдат решени за $ \ varphi_S $ и вмъкнатите стойности:
Двата ъгъла по-горе са еднакви, само веднъж в радиани и веднъж в градуси. Това означава, че ако колелото $ R $ се завърти веднъж (= 360 °), тогава дискът $ S $ се завърти 2,2 пъти (= 792 °/360 ° = 2,2).
След това се определя ъгловото ускорение на диска $ S $. Ускорението е постоянно $ \ alpha_S = \ dot_S = const $ is (вижте задачата) и обикновено се определя от:
Няма обаче зависимост от времето, поради което се използва следната връзка (вижте текста по-горе):
$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $
Тъй като ъгловото ускорение $ \ alpha_S $ е постоянно, след интегрирането се прилага следното:
$ \ alpha_S (\ varphi_S - \ varphi_) = \ frac \ omega_S ^ 2 - \ frac \ omega_ $
Завъртането от останалата позиция означава $ \ omega_0 = 0 $ и $ \ varphi_0 = 0 $:
$ \ alpha_S \ cdot \ varphi_S = \ frac \ omega_S ^ 2 $
Решете за $ \ omega_S $:
Вмъкване на стойностите:
метод
Всички точки на диска $ S $ се въртят със същата ъглова скорост $ \ omega_S = 7.44 \ frac $. Сега обаче трябва да се определи скоростта на точка $ P $ на колелото $ R $. Тук, разбира се, ъгловата скорост е различна, защото колелото е много по-голямо. Има обаче връзка между движението на диска $ S $ и колелото $ R $. Всички точки на колана имат еднаква скорост $ v $ и еднакво тангенциално ускорение $ a_ $. Не всички точки на ролката $ S $ или колелото $ R $ имат еднаква скорост (или ускорение), а само точките на колана (т.е. всички външни точки). Тези точки включват и точката $ P $, която се намира на външния ръб и следователно има същата скорост и същото тангенциално ускорение като всички други точки на колана. Скоростта обикновено може да се определи от:
$ v = \ omega \ cdot r $
Тъй като всички точки на външния ръб на диска $ S $ и колелото $ R $ имат еднаква скорост, се прилага следното (радиусите се издигат до ръба):
Забележете
$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $
Скоростта на точката $ P $ обикновено се определя с помощта на колелото $ R $, на което се намира точката:
$ v_P = \ omega_R \ cdot r_R $
Скоростта обаче може да се определи и тук, като се определи скоростта на външните точки на диск $ S $, тъй като това е равно на външните точки на колелото $ R $ (а $ P $ е отвън):
метод
$ v_P = \ omega_S \ пъти r_S = 7.44 \ frac \ по 0.25m = 1.86 \ frac $
Ускорението на точката $ P $ е резултат от двата компонента:
$ a_r = - r_R \; \ omega_R ^ 2 $
Както вече беше споменато по-горе, тангенциалното ускорение $ a_ $ е еднакво за всички точки на колана. Цялото ускорение е резултат от двата компонента:
$ a_r = - r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $
Тъй като тангенциалното ускорение е еднакво за всички външни точки, то може да се определи и от диска $ S $:
$ a_ = r_S \; \ alpha_S = 0,25 м \ cdot 2 \ frac = 0,5 \ frac $
Нормалният компонент на ускорението $ a_r $ е различен за всяка точка, поради което:
$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $
Все още липсва ъгловата скорост $ \ omega_R $. Това може да се определи от връзката между скоростта:
Забележете
$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $
Решете за $ \ omega_R $:
Нормалният компонент на ускорението е:
$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 = -0.55m \ cdot (3.38 \ frac) ^ 2 = -6.28 \ frac $
Тогава общото ускорение води до: